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2、三种圆锥曲线的研究
(1)统一定义,三种圆锥曲线均可看成是这样的点集:,其中F为定点,d为P到定直线的l距离,Fl,如图。
因为三者有统一定义,所以,它们的一些性质,研究它们的一些方法都具有规律性。
当0<e<1时,点P轨迹是椭圆;当e>1时,点P轨迹是双曲线;当e=1时,点P轨迹是抛物线。
(2)椭圆及双曲线几何定义:椭圆:{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|>0,F1、F2为定点},双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a,|F1F2|>2a>0,F1,F2为定点}。
(3)圆锥曲线的几何性质:几何性质是圆锥曲线内在的,固有的性质,不因为位置的改变而改变。
①定性:焦点在与准线垂直的对称轴上
椭圆及双曲线中:中心为两焦点中点,两准线关于中心对称;椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称,关于中心成中心对称。
②定量:
|
椭
圆 |
双 曲 线 |
抛 物 线 |
|
焦 距 |
2c |
|
||
长轴长 |
2a |
-- |
|
|
实轴长 |
-- |
2a |
|
|
短轴长 |
2b |
|
||
焦点到对应 准线距离 |
P=2 |
p |
||
通径长 |
2. |
2p |
||
离心率 |
|
1 |
||
基本量关系 |
a2=b2+c2 |
C2=a2+b2 |
|
|
(4)圆锥曲线的标准方程及解析量(随坐标改变而变)
举焦点在x轴上的方程如下:
|
椭
圆 |
双 曲 线 |
抛 物 线 |
标准方程 |
(a>b>0) |
(a>0,b>0) |
y2=2px(p>0) |
顶 点 |
(±a,0) (0,±b) |
(±a,0) |
(0,0) |
焦 点 |
(±c,0) |
(,0) |
|
准 线 |
X=± |
x= |
|
中 心 |
(0,0) |
|
|
有界性 |
|x|≤a |y|≤b |
|x|≥a |
x≥0 |
焦半径 |
P(x0,y0)为圆锥曲线上一点,F1、F2分别为左、右焦点 |
||
|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 |
P在右支时: |PF1|=a+ex0 |PF2|=-a+ex0 P在左支时: |PF1|=-a-ex0 |PF2|=a-ex0 |
|PF|=x0+ |
总之研究圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算。
参考答案
(一)选择题
1、A 2、A 3、D 4、B 5、C 6、B 7、D 8、D
(二)填空题
9、 10、或 11、圆, 12、3,2
13、,1)
(三)解答题
14、
15、(1)y2=4x (2)0,4
16、(1)8 (2)不存在
17、(1)
(2)抛物线的部分弧,,
18、(1) (2)