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3.(人教A版选修2-3第36页例2)
(1)求 的展开式的第 4 项的系数 ;
(2)求 的展开式中 的系数 ?
变式1:在二项式的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列.
(1)求展开式的第四项;
(2)求展开式的常数项;
(3)求展开式的各项系数的和.
[分析]:本题旨在训练二项式定理通项公式的运用.
[解答]第一项系数的绝对值为,第二项系数的绝对值为,第三项系数的绝对值为,
依题意有+=,解得n=8,
(1)第四项;
(2)通项公式为,展开式的常数项有2r-8=0,即r=4,
常数项为;
(3)令x=1,得展开式的各项系数的和.
[点评]本题旨在训练二项式定理通项公式的运用,但要注意通项为而不是,这是同学们最容易出错的地方.
变式2:设.
(1)求;
(2)求;
(3)求;
(4)求;
(5)求各项二项式系数的和.
[分析]:本题旨在训练二项展开式各项的系数与二项式系数.
[解答](1)令x=1得;
(2)令x=-1得,
而由(1)知:,
两式相加得;
(3)将(2)中的两式相减得;
(4)令x=0得,得-=16-1=15;
(5)各项二项式系数的和为.
[点评]①要注意二项展开式各项的系数与二项式系数是不同的两个概念;②系数和与二项式系数和不一定相同,本题的(1)与(5)结果相同纯属巧合;③注意求系数和上述是最一般的方法,一定要理解.
变式3:二项展开式中,有理项的项数是( )
(A) 3 |
(B) 4 |
(C) 5 |
(D) 6 |
[解析]:(r = 0,1,2,…,14 ),
当r = 3,9,15时,为有理项.
[答案]:A
变式4: 若,
求的值.
[解析]:令x=1得,
令x=-1得
=
=
=1
[答案]:1