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18、如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=PB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动。
(1)点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;
(2)证明:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;
(3)当BE等于何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°。
解:(1) 点E为BC的中点时, EF∥平面PAC。
证明如下:∵BE=CE,BF=PF ∴EF∥PC
又EF在平面PAC外,PC在平面PAC内,所以EF∥平面PAC
(2) ∵PA=AB,BF=PF ∴AF⊥PB ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BC
又BC⊥AB ∴BC⊥平面PAB 而AF在平面PAB内,∴AF⊥BC
∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线 ∴AF⊥平面PBC
∵无论点E在BC边的何处,PE都在平面PBC内 ∴PE⊥AF
(3)利用空间向量来解。以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz。设BE=m,
则A(0,0,0),P(0,0,1),D(,0,0),E(m,1,0),
∴,,,
设平面PDE的法向量为,则,
∴,,令x=1,得,
∵PA与平面PDE所成角的大小为45° ∴,
解得或(舍)
因此,当BE=时,PA与平面PDE所成角的大小为45°。
参考答案:
题号 |
1 |
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答案 |
C |
D |
B |
B |
C |
C |
C |
B |
A |
B |
B |
A |
13、40; 14、1980; 15、; 16、或
17、解:(1)向量,若,则,∵,∴cosx≠0,∴,∴。
(2),
∵ ∴,因此当,
即时,。
18、解:(1) 点E为BC的中点时, EF∥平面PAC。
证明如下:∵BE=CE,BF=PF ∴EF∥PC
又EF在平面PAC外,PC在平面PAC内,所以EF∥平面PAC
(2) ∵PA=AB,BF=PF ∴AF⊥PB ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BC
又BC⊥AB ∴BC⊥平面PAB 而AF在平面PAB内,∴AF⊥BC
∵BC、PB是平面PBC内的两条相交直线 ∴AF⊥平面PBC
∵无论点E在BC边的何处,PE都在平面PBC内 ∴PE⊥AF
(3)利用空间向量来解。以A为原点,AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz。设BE=m,
则A(0,0,0),P(0,0,1),D(,0,0),E(m,1,0),
∴,,,
设平面PDE的法向量为,则,
∴,,令x=1,得,
∵PA与平面PDE所成角的大小为45° ∴,
解得或(舍)
因此,当BE=时,PA与平面PDE所成角的大小为45°。
19、解:(Ⅰ)如果按性别比例分层抽样,应抽男生3人,
女生5人,共可得到个不同的样本。
(Ⅱ)(1)这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀,
则需要先从物理的4个优秀分数中选出3个与数学优秀分数对应,
种数是或(),然后将剩下的5个数学分数和物理分数任
意对应,种数是。根据乘法原理,满足条件的种数是,
这8位同学的数学分数和物理分数分别对应的种数共有
,故所求的概率为。
(2)变量y与x的相关系数是。可以看出,
物理与数学成绩是高度正相关,或以数学成绩x为横坐标,物理
成绩y为纵坐标做散点图如下:
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近,并且在逐步
上升,故物理与数学成绩是高度正相关。
设y与x线性回归方程是,根据所给的数据,可以计算
出,,
所以y与x回归方程是。
20、解答:(1)圆的圆心为C(-1,0),半径,
∵.=0,=2 ∴MQ⊥AP,点M是AP的中点,即QM是AP的中垂线 ,连结AQ,则|AQ|=|QP|,
∴|QC|+|QA|=|QC|+|QP|=|CP|=,又|AC|=2<,
根据椭圆的定义,点Q的轨迹是以C(-1,0),A(1,0)为焦点,长轴长为的椭圆,
由c=1,a=,得b2=1,因此点Q的轨迹方程为。
(2)设F(x1,y1),H(x2,y2),则由,消去y得
,△=8k2>0,∴k≠0。
∴,,∴.=
,由已知.,得
,∴。
∵
。又点O到直线FH的距离d=1,
∴
令,则,∴
,∵,∴,
即,∴。
21、解:(1) , ∵p>q>0 ∴.
令,得或,列表如下:
x |
(-∞, ) |
|
(,1) |
1 |
(1,+
∞) |
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
f(x) |
↑ |
极大值 |
↓ |
极小值 |
↑ |
由上表可知,x=1时,f(x)取得极小值,因此a1=1。
(2) ,
∵点(n,2Sn)(n∈N*)均在函数的图象上, ∴,
由于a1=1,所以2a1=2p,得p=1,∴,又,
上面两式相减,得。
(3)由,所以,
由题设p>q>0,而p=1,故q≠1, ,
,
。
22、A、选修4-1:几何证明选讲
解:(1)连结OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵CA是∠BAF的角平分线,∴∠OAC=∠FAC,
∴∠FAC∠ACO, ∴OC∥AD,∵CD⊥AF,∴CD⊥OC,即DC是⊙O的切线。
(2)连结BC,在Rt△ACB中,CM⊥AB,∴,又∵DC是⊙O的切线,
∴,易知,∴DC=CM,∴AM.MB=DF.DA
B、选修4-4:坐标系与参数方程
解:(1)圆锥曲线化为普通方程,
所以F1(-1,0),F2(1,0),则直线AF2的斜率,于是经过点F1垂直于直线AF2的直线l的斜率,直线l的倾斜角是30°,所以直线l的参数方程是(t为参数),即(t为参数),
(2)直线AF2的斜率,倾斜角是120°,设是直线AF2上任一点,
则,,则
C、选修4-5:
不等式选讲对于任意的实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,求实数x的取值范围。
解:不等式|a+b|+|a-b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,即对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立,只要左边恒小于或等于右边的最小值。
因为|a+b|+|a-b|≥2|a|,当且仅当(a-b)(a+b)≥0时等号成立,即|a|≥|b|时,,也就是的最小值是2,于是,
得用绝对值的意义得:。