例1.解法一:
由已知得又
所以
解法二:
由已知
例2.本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识,平面解析几何的基本方法和综合解题能力.
(I)解法一:直线, ① 过原点垂直的直线方程为, ②
解①②得∵椭圆中心(0,0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上,
∵直线过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).
故椭圆C的方程为 ③
解法二:直线.设原点关于直线对称点为(p,q),则
解得p=3.∵椭圆中心(0,0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上,
∵直线过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0). 故椭圆C的方程为
③
(II)解法一:设M(),N().当直线m不垂直轴时,直线代入③,整理得
点O到直线MN的距离
即
即整理得当直线m垂直x轴时,也满足.故直线m的方程为或或
经检验上述直线均满足.
所以所求直线方程为或
解法二:设M(),N().
当直线m不垂直轴时,直线代入③,整理得 ∵E(-2,0)是椭圆C的左焦点,∴|MN|=|ME|+|NE|
=以下与解法一相同.
解法三:设M(),N().设直线,代入③,整理得
即
∴=,整理得 解得或故直线m的方程为或或经检验上述直线方程为
所以所求直线方程为或或
例3.本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法,椭圆的方程和性质,利用方程判定曲线的性质,曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力,
解:根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值.
∵
i=(1,0),c=(0,a),∴ c+li=(l,a),i-2lc=(1,-2la).因此,直线OP和AP的方程为ly=ax 和 y-a=-2lax.消去参数l,得点P(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2,
整理得 . ①
因为a>0,所以得:(ⅰ)当时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F;(ⅱ)当时,方程①表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点:(ⅲ)当时,方程①也表示椭圆,焦点和为合乎题意的两个定点.