1.( 05重庆)已知A(3，1)，B(6，1)，C(4，3)，D为线段BC的中点，则向量与的夹角为　　　　　　　　　 　　　 (　　 )

　　　 A．　　 B．　　　　　 C．　　　 D．－

2.( 04全国2)已知平面上直线l的方向向量e=点O(0，0)和A(1，－2)在l上的射影分别是O′和A′，则e，其中=　　　

(A)　　　　　　　　　 (B)　　　　　　　 (C)2　　　　　　　　　　 (D)－2

3.( 05湖北)已知向量不超过5，则k的取值范围是　　　　　　 .

例1.( 05山东)已知向量和且　 求的值.

例2. (05福建)已知方向向量为v=(1,)的直线l过点(0，－2)和椭圆C：的焦点，且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.

(1)　　　 求椭圆C的方程；

(备)例3.( 03天津)已知常数a>0，向量c=(0，a)，i＝(1，0)．经过原点O以c+li为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以i－2lc为方向向量的直线相交于点P，其中l∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得| PE | + | PF |为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．

1. (05山东)已知向量,且则一定共线的三点是　　 (　　 )

　　　 A．A、B、D　　B．A、B、C　　C．B、C、D　　D．A、C、D

2. (05广东)已知向量则x=　　　　　　　 .

3. (04湖南)已知向量a=，向量b=，则|2a－b|的最大值是　　　　　　 .

1.　　　 条件甲：“四边形是平行四边形”是条件乙：“”成立的(　 )

　　　　　 A．充分不必要条件　　　　　　　　　　 B．必要不充分条件　

　　 C．充分必要条件　　　　　　　　　　　 D．既不充分又不必要条件

2.　　　　 已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O₁和A₁，则＝，其中＝(　　 )

A．　　　 B．－　　　 C．2　　 D．－2

3.　　　　 下列条件中，不能确定三点A、B、P共线的是 (　 )

　　 　 A．　 B．

　　 　 C．　 D．

4.　　　　 在直角坐标系中，O是原点，=(－2+cosθ,－2+sinθ) (θ∈R)，动点P在直线x=3上运动，若从动点P向Q点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为 (　 )

A． 　4 　　 B． 　5　 　　　C． 　2　 　　 D． 　　　

5.(05全国2)点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．(－2，4)　　　　　 B．(－30，25)　　　 C．(10，－5)　　　　 D．(5，－10)

6.( 04天津)若平面向量与向量的夹角是，且，则　　 　 (A) 　　　 (B) 　　　 (C) 　 (D)

7. (04广东)已知平面向量=(3，1)，=(x，–3)，且，则x=　　　　 　　　　　　　 (A)－3　　　　 (B)－1　　　　 　　　 (C)1　　　　　　 (D)3

8. (04上海)已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向,

　=2,则点B的坐标为　　　　 .

9. (05全国3)已知向量，且A、B、C三点共线，则k=　　 　.

10. (03上海)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零．(1)求向量的坐标; (2)求圆x²－6x+y²+2y＝0关于直线OB对称的圆的方程;(3)是否存在实数a，使抛物线y＝ax2－1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由;若存在，求a的取值范围．

11.已知△OFQ的面积为S，且=1⑴若<S<2,求向量与的夹角的取值范围;

⑵设︱︱=C(c≥2),S=C,若以O为中心,F为焦点的椭圆经过点Q,当︱︱取最小值时,求此时椭圆的方程.

专题4　 平面向量(2)

1.(05北京)，则向量的夹角为　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

2.(05浙江)已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则(　　 )

A．⊥　　　 B．⊥(－) 　C．⊥(－)　 D．(+)⊥(－)

3.(04浙江)已知平面上三点A、B、C满足　则的值等于　　　　 .

例1. 已知向量

(1)求(2)若的最小值为的值.

例2.(05上海卷)在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，．．．，为关于点的对称点。(Ⅰ)求向量的坐标；(Ⅱ)当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，。求以曲线C为图象的函数在上的解析式；

(Ⅲ)对任意偶数，用表示向量的坐标。

(备)例3.(04福建)设函数f(x)= .，其中向量=(2cosx，1)，=(cosx， sin2x)，x∈R.(Ⅰ)若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；(Ⅱ)若函数y=2sin2x的图象按向量=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.

1.(05江西)已知向量　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　 B．60°

C．120°　　　　　　　 D．150°

2.(04湖北)已知为非零的平面向量. 甲：　　　　

　　　 (A)甲是乙的充分条件但不是必要条件

　　　 (B)甲是乙的必要条件但不是充分条件

　　　 (C)甲是乙的充要条件

　　　 (D)甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

3.(00上海卷)已知向量(－1，2)、=(3，m)，若┴，则m=　　　　 。

1.(04福建)已知、是非零向量且满足(－2) ⊥，(－2) ⊥，则与的夹角是　　　　　 (A)　　　 　　　 (B)　　　 　　 (C)　　　 　　　 (D)

2.(04重庆)若向量的夹角为，,则向量的模为　　　 　(A)2　　　　 　　　(B)4　　　　 　(C)6　　　 　　　(D)12

3.(00天津)设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

①　②　③不与垂直

④　中，是真命题的有

(A) ①②　　　　　　　 (B) ②③　　　　　　　 (C) ③④　　　　　　　 (D) ②④

4.(04全国1)已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=　　　　 　　　 (A)　　 (B)　　 (C)　　　 (D)4

5.若向量的夹角为，,则向量的模为(　　 )

A．　 2　　　　 　B．　　 4　　　　 　C．　　 6　　　　 D．　 12

6.(04全国4)向量a、b满足(a－b).(2a+b)=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的

余弦值等于　　　　　　　　

7.(02上海)已知向量和的夹角为120°，且，，则＝　　　　。

8.(04江苏卷)平面向量a，b中，已知a=(4，-3)，=1，且a.b=5，则向量b=__________.

9设=(3，1)，=(-1，2)，⊥，∥，试求满足+=的的坐标，其中O为坐标原点。

10.(05湖北)已知向量在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围.

11．椭圆的两焦点分别为、，直线是椭圆的一条准线．

(1)求椭圆的方程；(2)设点在椭圆上，且，求的最大值和最小值．

专题4　 平面向量(1)答案

例1.解法一：

　　　 　

由已知得又

所以

解法二：

　由已知

例2.本小题主要考查直线、椭圆及平面向量的基本知识，平面解析几何的基本方法和综合解题能力．

(I)解法一：直线，　 ① 过原点垂直的直线方程为，　 ②

解①②得∵椭圆中心(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，

∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)．

　 故椭圆C的方程为　 ③

解法二：直线．设原点关于直线对称点为(p，q)，则

解得p=3．∵椭圆中心(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，　 ∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)．　故椭圆C的方程为　 ③

(II)解法一：设M()，N()．当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得

　

点O到直线MN的距离

即

　　　 即整理得当直线m垂直x轴时，也满足．故直线m的方程为或或

经检验上述直线均满足．

所以所求直线方程为或

解法二：设M()，N()．

当直线m不垂直轴时，直线代入③，整理得　∵E(－2，0)是椭圆C的左焦点，∴|MN|=|ME|+|NE|

=以下与解法一相同．

解法三：设M()，N()．设直线，代入③，整理得

　　

　　 即

　　

　　 ∴=，整理得　　　 解得或故直线m的方程为或或经检验上述直线方程为

所以所求直线方程为或或

例3.本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．

∵ i＝(1，0)，c＝(0，a)，∴ c+li=(l，a)，i－2lc=(1，－2la)．因此，直线OP和AP的方程为ly=ax 和 y－a＝－2lax．消去参数l，得点P(x，y)的坐标满足方程y(y－a)=­－2a²x²，

整理得　 ．　　　 ①

因为a>0，所以得：(ⅰ)当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；(ⅱ)当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点：(ⅲ)当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点．

1.A　 2.D　 3.D　 4.C 　5.C　 　6.A　　　 7.C　 　8. (5,4)　　　 9．

10. 解：(1)设，则由即得或　　

　因为所以　 v－3>0，得　 v＝8，故　

(2)由得B(10，5)，于是直线OB方程：由条件可知圆的标准方程为：(x－3)²+(y+1)²＝10，得圆心(3，－1)，半径为设圆心(3，－1)关于直线OB的对称点为(x，y)，则得故所求圆的方程为(x－1)²+(y－3)²＝10．

(3)设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

得即x₁、x₂为方程的两个相异实根，

于是由得故当时，抛物线y =ax²－1上总有关于直线OB对称的两点．

11.解:⑴由已知∴tan=2S,由<S<2,得1<tan<4.又∈(0,)∴⑵以O为原点,所在直线为X轴建立坐标系,设所求∵S_△OFQ=︱︱•︱y₀︱=c,∴︱y₀︱=,∵=1,∴(c,0)•(x₀-c,y₀)=1,解得x₀=c+.∴︱︱==,注意到当c≥2时,c+随c的增大而增大,因此当且仅当c=2时,︱︱有最小值,此时点Q坐标为(,-)或(,)∴解得,故所求椭圆方程为

专题4　 平面向量(2)答案

例1. 解：(1)．

(2)

当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取最小值－1，与已知矛盾．

当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取最小值－1－2λ²，由已知得：－1－2λ²=－，解得：λ=．当λ>1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得：矛盾．综上所述：λ=为所求.

例2.解：(1)设点，A₀关于点P₁的对称点A₁的坐标为

A₁关于点P₂的对称点A₂的坐标为，所以，　

(2)解法一的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到。因此，基线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当

解法二设

若

当　

(3)

由于，

例3.本小题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.

解：(Ⅰ)依题设，f(x)=2cos²x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－.∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-.

(Ⅱ)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.

由(Ⅰ)得 f(x)=2sin2(x+)+1.∵|m|<，∴m=-，n=1.

9. (11，6)；

10.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。

解法1：依定义

开口向上的抛物线，故要使在区间(－1，1)上恒成立

.

解法2：依定义

的图象是开口向下的抛物线，

11．解(1)依据题意，设椭圆的方程为，则由

，椭圆方程为．　　　　　　 (2)因为在椭圆上，故　　　 　

　　　　　　　　　 由平面几何知识得　，即，所以．　

令，设且，则，

所以函数在上是单调递减的，从而当时，原式取得最大值，当时原式取得最小值．