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21.已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆中心O,且,|BC|=2|AC|.
(1)求椭圆方程;
(2)如果椭圆上两点P、Q,使PCQ的平分线垂直AO,是否总存在实数,使?请给出说明。
参考答案及评分标准
一.DADBD CABAC
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题
16.(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- ∴A= (6分)
(2)y=2sin2B+sin(2B+)=1+sin(2B-) (10分)
∵0<2B< ∴当2B-=即B=时,=2 (12分)
17.(1)依题意 (2分)
∴ ∴{}为等差数列 (6分)
(2)由,,求得 (8分)
∴ ∴ (12分)
18.解(1)由三垂线定理知C1FDF,易证RtBDF≌RtB1FC1
∴B1F=BD=BF ∴ (6分)
(2)在平面A1B1C1中,过C1作C1GA1B1于G,连FG,
易证C1FG就是CF与侧面AA1B1B所成的角 (8分)
则有,,
A1B1C1中,取B1C1的中点D1,连A1D1,设B1F=x,由C1G.A1B1=B1C1.A1D1
求得x=1,∴BB1=3, (12分)
19.解(1)f’(x)=3x2+2ax+b=0两根为、
∴, (3分)
(6分)
(2)A(,f()),B(,f()),其中点M()
∵
∴M在y=f(x)图象上 (12分)
20.(1)反证法
(2)pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=apq(x-y)2 (8分)
依题意apq(x-y)2≥0
∵a>0 ,(x-y)2≥0 ∴ pq≥0,即p(1-q)≥0
∴0≤p≤q得证 (12分)
21.(1)以O为原点,OA为x轴建立直角坐标系,A(2,0),椭圆方程
∵,∴ACBC,∴C(1,1) (4分)
将C(1,1)代入椭圆方程得,即椭圆方程为 (6分)
(2)依题意可设PC:y=k(x-1)+1,QC:y=-k(x-1)+1
∵C(1,1)在椭圆上,x=1是方程(1+3k2)x2-6k(k-1)x+2k2-bk-1=0的一个根
∴,用-k代换中的k得
∴
∵B(-1,-1), ∴
∴,因此总存在实数,使 (14分)