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9.如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值
解:(1)问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值
设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,
由,解得或
(2)x,y满足,
[典型考例]
[问题1]直线的方程与平行、垂直条件
P91 例1
例2.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点,其中A(-2, 3),B(3,2),求实数m的取值范围。
例3.自点A(-3,3)发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程
解:由已知可得圆C:关于x轴对称的圆C‘的方程为,其圆心C‘(2,-2),则与圆C’相切,
设: y-3=k(x+3), ,
整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或,
所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3),
即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0
[问题2]圆的方程
例4.P92 例2
例5.(07年湖南文理科试题)如图,过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点,点Q是点P关于原点的对称点。(I)设点P分有向线段所成的比为,证明: (II)设直线AB的方程是x-2y+12=0,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.
解:(Ⅰ)依题意,可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得 ①
设A、B两点的坐标分别是 、、x2是方程①的两根.
所以
由点P(0,m)分有向线段所成的比为,得
又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标是(0,-m),从而.
所以
(Ⅱ)由 得点A、B的坐标分别是(6,9)、(-4,4).
由 得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是则
解之得
所以圆C的方程是 即
例6.一个圆和已知圆外切,并与直线:相切于点M(),求该圆的方程
已知圆方程化为: ,其圆心P(1,0),半径为1
设所求圆的圆心为C(a,b), 则半径为,
因为两圆外切, ,从而1+ (1)
又所求圆与直线:相切于M(),直线,于是,
即 (2) 将(2)代入(1)化简,得a2-4a=0, a=0或a=4
当a=0时,,所求圆方程为
当a=4时,b=0,所求圆方程为
[问题3]直线与圆的位置关系
例7.P96T8 例8. P96 T9
[问题3]综合与提高
例9: 例3. 2.(广东卷)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使A点落在线段DC上.
(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程;
(Ⅱ)求折痕的长的最大值.
例10. 23.如图,过圆O:x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线,M为上任一点,过M作圆O的另一条切线,切点为Q,求△MAQ垂心P的轨迹方程。
[课后训练]