1．(湖南卷)若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是　 (　　　 )

A.[]　　　 B.[] C.[　　 D.

解析：圆整理为，∴圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，　 ∴ ，∴ ，∴ ，，

∴ ，直线的倾斜角的取值范围是，选B.

2．(江苏卷)圆的切线方程中有一个是

(A)x－y＝0　　(B)x+y＝0　　(C)x＝0　　(D)y＝0

[正确解答]直线ax+by=0，则，由排除法，

选C,本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。

[解后反思]直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解.

3．(全国卷I)从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为　　　　　　　　

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

解析：圆的圆心为M(1，1)，半径为1，从外一点向这个圆作两条切线，则点P到圆心M的距离等于，每条切线与PM的夹角的正切值等于，所以两切线夹角的正切值为，该角的余弦值等于，选B.

5．(重庆卷)过坐标原点且与x²+y² + 4x+2y+=0相切的直线的方程为

(A)y=-3x或y=x (B) y=-3x或y=-x　 (C)y=3x或y=-x　 (B) y=3x或y=x　

解析：过坐标原点的直线为，与圆相切，则圆心(2，－1)到直线方程的距离等于半径，则，解得，∴ 切线方程为，选A.

6． (辽宁卷)若直线按向量平移后与圆相切，则c的值为( A　 )

　　　 A．8或－2　　　　　　　 B．6或－4　　　　　　　 C．4或－6　　　　　　　 D．2或－8

7(北京卷)从原点向圆 x²+y²－12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为　　　　 (B )

　　 (A)π　 (B)2π　　　 (C)4π　　 (D)6π

8(湖南卷)设直线和圆相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是　 　　　　.

9.如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值

解:(1)问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值

设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,

由,解得或

(2)x,y满足,

　　

[典型考例]

[问题1]直线的方程与平行、垂直条件

P₉₁ 　例1

例2.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求实数m的取值范围。

例3.自点A(-3,3)发出的光线射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在的直线与圆相切,求光线所在的直线方程

解:由已知可得圆C：关于x轴对称的圆C^‘的方程为，其圆心C^‘(2，-2)，则与圆C^’相切，

设:　 y-3=k(x+3),　　 ，

整理得12k²+ 25k+12=0,　 解得或，

所以所求直线方程为y-3=　(x+3)或 y-3=　(x+3)，

即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0

[问题2]圆的方程

例4.P₉₂　 例2

例5.(07年湖南文理科试题)如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。(I)设点P分有向线段所成的比为，证明:　(II)设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

　　 解：(Ⅰ)依题意，可设直线AB的方程为 代入抛物线方程得　　 ①

设A、B两点的坐标分别是 、、x₂是方程①的两根.

所以　 　　

由点P(0，m)分有向线段所成的比为，得

又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是(0，－m)，从而.

　 　　

所以　

(Ⅱ)由 得点A、B的坐标分别是(6，9)、(－4，4).

由 　得 所以抛物线 在点A处切线的斜率为

设圆C的方程是则

解之得

所以圆C的方程是　 即　

例6.一个圆和已知圆外切,并与直线:相切于点M(),求该圆的方程

已知圆方程化为: ,其圆心P(1,0),半径为1

设所求圆的圆心为C(a,b),　 则半径为,

因为两圆外切,　,从而1+　　　 (1)

又所求圆与直线：相切于M(),直线,于是,

即　 　　　(2)　　　　 将(2)代入(1)化简,得a²-4a=0,　 a=0或a=4

当a=0时,,所求圆方程为

当a=4时,b=0,所求圆方程为

[问题3]直线与圆的位置关系

例7.P₉₆T₈　　　 例8_.　 P₉₆　 T₉

[问题3]综合与提高

例9:　　　 例3. 2.(广东卷)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合(如图5所示)．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．

(Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；

(Ⅱ)求折痕的长的最大值．

例10. 23.如图，过圆O：x²+y²=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线，M为上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求△MAQ垂心P的轨迹方程。

[课后训练]

1．(安徽卷)直线与圆没有公共点，则的取值范围是

A．　 B．　 C．　 D．　

解：由圆的圆心到直线大于，且，选A。

2．(陕西卷)设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x²+y²=2相切,则a 的值为(　 )

A.±　 　　　　　B.±2　　 　　　　　B.±2　　 　　　　　D.±4

解析：设直线过点(0，a)，其斜率为1， 且与圆x²+y²=2相切，设直线方程为，圆心(0，0)道直线的距离等于半径，∴ ，∴ a 的值±2，选B．

3．(江西卷) “a=b”是“直线”的　　　　 (A )

　　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

　　　 C．充分必要条件　　 D．既不充分又不必要条件

4 (重庆卷)圆(x+2)²+y²=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (A　 )

　　 (A) (x-2)²+y²=5； (B) x²+(y-2)²=5； (C) (x+2)²+(y+2)²=5； (D) x²+(y+2)²=5。

5. (全国卷I)已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是(B)

(A)　　　　　 (B)　　　　

(C)　　　　　　 (D)

6．(湖北卷)已知直线与圆相切，则的值为　　　　 。

解：圆的方程可化为，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1，由已知可得

，所以的值为－18或8。

7．(湖北卷)若直线y＝kx+2与圆(x－2)²+(y－3)²＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是　　　 .

解：由直线y＝kx+2与圆(x－2)²+(y－3)²＝1有两个不同的交点可得直线与圆的位置关系是相交，故圆心到直线的距离小于圆的半径，即<1，解得kÎ(0，)

8.(上海卷)已知两条直线若，则____.

解：两条直线若，，则2.

9.(江苏卷) 如图,圆O₁与圆O₂的半径都是1,O₁O₂=4,过动点P分别作圆O₁、圆O₂的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹方程.

解：如图，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，则两圆心分别为．设，则，同理．

∵，

∴，

即，即．这就是动点的轨迹方程．

10、当0<a<2时，直线L₁：ax-2y-2a+4=0与L₂：2x+a²y-2a²-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a应取何值？

11．已知圆C: x²+y²-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由

解:设直线L的斜率为1，且L的方程为y=x+b,则　消元得方程2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0,设此方程两根为x_1,x₂，则x₁₊x₂＝－(b+1),y₁+y₂= x₁₊x₂+2b=b-1,则AB中点为，又弦长为＝，由题意可列式＝解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意．所以所求直线方程为y=x+1

考点透析10答案:

考点小测答案:

课后练习答案: