网址:http://www.1010jiajiao.com/paper/timu/5154746.html[举报]
19.(本小题满分12分)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都是2,点A1与AB、AC的距离都等于,且A1E⊥B1B于E,A1F⊥C1C于F.
(1)求证:平面A1EF⊥平面B1BCC1;
(2)求点A到平面B1BCC1的距离;
(3)求平面A1EF与平面A1B1C1所成二面角的大小.
[解答](1),∴B1B平面A1EF,∴平面A1EF⊥平面B1BCC1;
(2)由于A1A//平面B1BCC1,
故点A、A1与平面B1BCC1的距离相等.
∵四边形ABB1A1为菱形,故A1E=A1F=,
∵B1B⊥平面A1EF,EF平面A1EF,
∴BB1⊥EF,从而EF=BC=2,
∴△A1EF是等腰直角三角形,
取EF中点M,则A1M⊥EF,且A1M=1,
从而A1M⊥平面B1BCC1,即A1到平面B1BCC1的距离为1;
(3)设平面A1EF与平面A1B1C1所成的二面角的棱为直线l,取B1C1的中点N,
则A1N⊥B1C1,但B1C1//EF,∴B1C1//平面A1EF,于是B1C1//l,
在△A1B1C1中,A1N=,∴A1M⊥l,A1N⊥l,
即∠MA1N为所求二面角的平面角,
∵A1M⊥平面B1BCC1,∴A1M⊥MN,∴cos∠NA1M=,
故所求二面角的大小为.