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例4.过正方形的顶点A,引,若,
则平面与平面所成的二面角的大小.
解:以为原点,分别为轴轴,轴建立空间直角坐标系如图。
则, , , ,则,.设平面PCD的法向量为,,即;,即.所以可令;设平面PAB的法向量为,所以平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值为.所以平面与平面所成的二面角的平面角为.
既然可以利用两个平面的法向量求两平面的夹角,也可以利用两个平面法向量证明两平面垂直.如下面的例5.可以先求两平面的法向量,再计算它们的数量积.
例5.如图,正四棱柱中,底面边长为,侧棱长为4,分别为棱的中点.
求证:平面平面
解:以为原点,分别
为建立空间直角坐标系,则, ,
,,
设平面EF的法向量为,
则=0;即.所以令=
设平面的法向量为=,,即4=0; ,即.所以可令. =0
平面平面.