江苏省高邮中学2009届高三第一学期期末模拟考试数学试卷 Ⅰ卷——青夏教育精英家教网——

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试题

江苏省高邮中学2009届高三第一学期期末模拟考试

数学试卷

Ⅰ卷（必做题部分共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.

1．若集合，满足，则实数a= ．

2．已知虚数z满足等式：，则．

3．函数的最小正周期是．

4. 某算法的伪代码如右：则输出的结果是 .

5已知条件p:x≤1，条件q：，则p是q的条件.

6.甲、乙两同学各自独立地考察两个变量X、Y的线性相关

关系时，发现两人对X的观察数据的平均值相等，都是s，对Y的观察数据的平均值也相等，都是t，各自求出的回归直线分别是l₁、l₂，则直线l₁与l₂必经过同一点。

7. 已知为坐标原点，，且，，则点的坐标为____________

8. 已知实数满足则的取值范围是_____ ___．

9.在0到1之间任取两个实数，则它们的平方和大于1的概率是。

10.若双曲线经过点，且焦点为，则它的离心率为。

11.已知数列中，，其通项公式=

。

12. 已知函数是偶函数，则函数图像与轴交点的纵坐标的最大值是．

13. 三位同学合作学习，对问题“已知不等式对于恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路.

甲说：“可视为变量，为常量来分析”.

乙说：“寻找与的关系，再作分析”.

丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”.

参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是．

14.已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意满足下列关系式：.考察下列结论：①； ②为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.其中正确的结论有 _.(请将所有正确结论的序号都填上)

请把答案写在答题纸的指定区域内.

二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,

15、（本小题满分14分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，…后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）求出物理成绩低于50分的学生人数；

(Ⅱ)估计这次考试物理学科及格率（60分及

以上为及格）

(Ⅲ) 从物理成绩不及格的学生中选两人，求

他们成绩至少有一个不低于50分的概率.

16．（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；.
（Ⅱ）当时，若，函数的值域是，求实数的值。

17．（本小题满分14分）如图，在长方体中，，，、分别为、的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面．

18．（本小题满分16分）已知直线l的方程为，且直线l与x轴交于点M，圆与x轴交于两点（如图）．

（I）过M点的直线交圆于两点，且圆孤恰为圆周的，求直线的方程；

（II）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；

（III）过M点作直线与圆相切于点N,设（II）中椭圆的两个焦点分别为F₁,F₂,求三角形面积。

19. （本小题满分16分）已知公差大于零的等差数列的前n项和为S_n，且满足：，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c；

（3）若(2)中的的前n项和为，求证：

20.(本小题16分)定义在的三个函数f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,

g(x)= ,且g(x)在x=1处取极值。

（I）求a值及h(x)的单调区间；

（II）求证：当1<x< 时，恒有

（III）把h(x)对应的曲线向上平移6个单位后得曲线，求与g(x)对应曲线的交点个数，并说明道理.

江苏省高邮中学2009届高三第一学期期末模拟考试

数学试卷

Ⅱ卷（加试题部分共40分）

加试题共4题，每题10分，请把答案写在答题纸的指定区域内.

1.设矩阵对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长3倍，再将纵坐标伸长2倍的两个伸压变换的复合，求其逆矩阵以及圆在的作用下的新曲线的方程．

2．已知椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？（用极坐标或参数方程方程求解）

3．如图，已知三棱锥O－ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．

（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

4．盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用表示取出的3张卡片上的最大数字，求：

（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；

（2）随机变量的概率分布和数学期望；

（3）计分不小于20分的概率．

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高三数学

一、填空题：（每小题５分，共７０分）

1．2 　 2． 1+2i 3．π 　　　4． 9 　　5．充分不必要

6．（s,t）　　7．　 8．　　　9. 　　　10.

11. 　　　12. 4 　　 13. 　　　14①③④

二、解答题：（共９０分）

15、（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：

………………………………3分

所以低于50分的人数为（人）………………………………………….5分

（Ⅱ）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），

频率和为

所以，抽样学生成绩的合格率是%……………………………………………………8分.

于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为%……………………………………9分.

（Ⅲ）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：

……………………………………………………14分

16．（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）当时， ………………………………3分

当时，是增函数，

所以函数的单调递增区间为. ……………7分

（Ⅱ）由得，

因为，所以当时，取最小值3，即
当时，取最大值4，即
将代入（1）式得. ………………………………14分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：侧面，

侧面，，

………3分

在中，，

则有，

，， ………………………………………6分

又平面． ……………………………………7分

（Ⅱ）证明：连、，连交于，

，，四边形是平行四边形，……………10分

………………………11分

又平面，平面，

平面． ………………………14分

18．（本小题满分1６分）

解：（I）为圆周的点到直线的距离为

设的方程为的方程为…5分

（II）设椭圆方程为，半焦距为c，则椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则或 ………………………………7分

当时，所求椭圆方程为；当时，

所求椭圆方程为 ………………………………1１分

（III）设切点为N，则由题意得，在中，，则，

N点的坐标为，……………………1２分

若椭圆为其焦点F₁,F₂

分别为点A,B故，

若椭圆为，其焦点为,

此时　　　　　　　　　　………………………………1６分

19.（本小题满分1６分）

解：（1）为等差数列，∵，又，

∴ ，是方程的两个根

又公差，∴，∴， …………………………… 2分

∴ ∴ ∴……………………………… 4分

（2）由(1)知， ………………………………… 5分

∴

∴，， ………………………………………… 7分

∵是等差数列，∴，∴ ………………………… 8分

∴（舍去） ……………………………………………………… 9分

（3）由(2)得 …………………………………………………… 11分

，时取等号 … 13分

，时取等号15分

(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以 ………………… 16分

20. (本小题满分16分)

解（I）由题意：

∴a=2 …………………………………………… 2分

而所以h(x)在上为增函数，h(x)在上为增函数。………… 4分

（II）

欲证：只需证：，即证：

记

∴

∴当x>1时，为增函数……………………………….9分

即

∴结论成立 ………………………………………………………………10分

（III）由（1）知：

∴对应表达式为

∴问题转化成求函数

即求方程：

即：

设

∴当时，为减函数.

当时，为增函数.

而的图象开口向下的抛物线

∴与的大致图象如图：

∴与的交点个数为2个.即与的交点个数为2个. …………………………………16分

江苏省高邮中学2009届高三第一学期期末模拟考试

数学试卷

Ⅱ卷（加试题部分）参考答案

1.解：，……………………………………………………… 5分

圆在的作用下的新曲线的方程为 ……10分

2．已知椭圆的长轴长为6，焦距,过椭圆左焦点F₁作一直线，交椭圆于两点M、N，设,当α为何值时，MN与椭圆短轴长相等？

解：以椭圆的左焦点为极点长轴所在直线为

极轴建立极坐标系（如图）

这里:a=3,c=,

………………………2分

所以椭圆的极坐标方程为：

………………………４分

设M点的极坐标为，N点的极坐标为，………………５分

解法二：设椭圆的方程为，其左焦点为，直线MN的参数方程为：

， ………………４分

将此参数方程代人椭圆方程并整理得：

，设M、N对应的参数分别为，则

2解：（1）以O为原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

……………………2分

cos<>．　 ………………………………4分

由于异面直线BE与AC所成的角是锐角，故其余弦值是．………………5分

（2），，设平面ABE的法向量为，

则由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一个法向量为n₂＝（0，0，1），

　………………………………7分

．

　 …………………………………9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁与n₂的夹角的补角，其余弦值是－．…… 10分

4．解：（１）记＂一次取出的３张卡片上的数字互不相同的事件＂为Ａ，

　则　　………………………………………………２分

（２）由题意有可能的取值为：２，３，４，５

　………５分

所以随机变量的概率分布为：

２

３

４

５

Ｐ

　所以的数学期望为Ｅ＝＋＋＋

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