【回顾与思考】
等腰三角形
【例题经典】
根据等腰三角形的性质寻求规律
例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?
若∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
若∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中,
根据等腰三角形的性质,∠1=∠2,∠ABD=∠ACE,
即可得到∠1=∠ABC,∠2=∠ACB时,∠BOC=90°+∠A;
∠1=∠ABC,∠2=∠ACB时,∠BOC=120°+∠A;
∠1=∠ABC,∠2=∠ACB时,∠BOC=?180°+∠A.
【点评】在例1图中,若AE=AB,AD=AC.类似上题方法同样可证得BD=CE.上述规律仍然存在.
例2.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.
【分析】要分AB+AD=15,CD+BC=6和AB+AD=6,CD+BC=15两种情况讨论.
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3.(2006年常德市)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
【分析】(1)把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ.利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ,得到AP=CQ.(2)连接PQ,则△PBQ是等边三角形.PQ=PB,AP=CQ故CQ:PQ:PC=PA:PB:PC=3:4:5,∴△PQC是直角三角形.
【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明.
【考点精练】
一、基础训练
1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=_____°.
(1) (2) (3)
2.如图2,是由9个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是_______.
3.如图3,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=________度.
4.(2006年烟台市)如图4,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则∠BAC′等于________.
(4) (5) (6)
5.(2006年包头市)如图5,沿AC方向开山修渠,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=135°,BD=
6.(2006年诸暨市)等腰△ABC的底边BC=
7.如图6,等边△ABC,B点在坐标原点,C点的坐标为(4,0),点A关于x轴对称点A′的坐标为_______.
8.(2006年江阴市)如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20°,且AE=AD,则∠CDE=________.
(7) (8) (9)
9.(2005年常州市)如图8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于( )
A.44° B.68° C.46° D.22°
10.(2006年海南省)如图9,要在离地面
A.L1 B.L
11.(2006年日照市)如图10,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD.则∠A等于( )
A.30° B.36° C.45° D.72°
(10) (11)
12.(2006年怀化市)同学们都玩过跷跷板的游戏.如图11所示,是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°,则当跷跷板的另一头B着地时,∠AOA′等于( )
A.25° B.50° C.60° D.130°
二、能力提升
13.如图,已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为
14.已知如图△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E使CE=CD.
试判断DB与DE之间的大小关系,并说明理由.
15.(2006年扬州市)如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.
(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);
(2)选择第(1)小题中的一种情况,证明△ABC是等腰三角形.
三、应用与探究
16.(2005年江西省)如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点.
(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论.
(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.
1.82.5 2.
5.368 6.7秒或25秒 7.(2,-2)
8.10° 9.D 10.B 11.B 12.B
13.
14.关系:DE=DB,
∵CD=CE,
∴∠E=∠EDC,
又∵∠ACB=60°,
∴∠E=30°,
又∵∠DBC=30°,
∴∠E=∠DBC,
∴DB=DE
15.(1)①③或②③
(2)已知①②求证△ABC是等腰三角形.
证:先证△EBO≌△DCO.得OB=OC,得∠DBC=∠ECB.
∴∠ABC=∠ACB.即△ABC是等腰三角形
16.(1)△DEF是等边三角形,
提示证△ADF≌△BED≌△CFE.即得△DEF是等边三角形
(2)AD=BE=CF成立.证略.
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com