湖南省郴州市2009年高三第三次教学质量监测

数学试题(理)

 

一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只

1.已知集合则下列结论正确的是   (    )

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       A.                              B.

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       C.                          D.

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2.设与()都是非零向量,则+=,是∥()成立的       (    )

       A.充要条件                                           B.必要不充分条件

       C.充分不必要条件                                D.既不充分又不必要条件

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3.复数在复平面内对应的点位于                                                                   (    )

       A.第一象限           B.第二象限            C.第三象限           D.第四象限

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4.已知实数满足约束条件的取值范围是                (    )

       A.[1,2]               B.[0,2]                C.[1,3]               D.[0,1]

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5.设随机变量服从正态分布N(0,1),若P(>1)=p,则P的值为(    )

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       A.               B.                 C.              D.

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6.函数的最大值和最小正周期分别为           (    )

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       A.1,π                B.2,2π               C.,2π          D.,π

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7.若的倾斜角为                            (    )

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       A.     B.            C.     D.

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8.已知为等差数列,若,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n=                                                  (    )

       A.11                     B.20                      C.19                     D.21

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二、填空题(本大题共7个小题,每小题5分,共35分,请把答案填在题中横线上)

9.函数的反函数是              .

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10.若在的展开式中含有常数项,则正整数n 取得最小值时的常数项为            .

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11.将7 个不同的小球全部放入编号为2 和3 的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个

数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有____________ 种. (用数字作答)

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12.设是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题:

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①若;   

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②若

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③若l上有两点到的距离相等,则l//

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④若.

其中正确命题的序号是____________.

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13.已知函数是R 上的偶函数,且在(0,+)上有x)> 0,若f(-1)= 0,那么关于x的不等式x fx)< 0 的解集是____________.

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14.己知抛物线的焦点为F,准线l与对称轴交于R点,过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ lQ ,则(i)抛物线的焦点坐标是____________;(ii)梯形PQRF的面积是____________.

 

 

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15.对于任意的正整数k,用gk)表示k 的最大奇因数,例如:…,记则(i)当时,的关系是___________;(ii)=___________.

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三、解答题(本大题共6 个小题,共75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. )

16.(本小题满分12 分)

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已知△ABC 各顶点的直角坐标为A(―1,0)、B(1,0)、C(m,).

20090401

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   (2)若|CA| > |CB| ,且的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.(本小题满分12 分)在A,B 两只口袋中均有2 个红球和2 个白球,先从A 袋中任取2 个球转放到B 袋中,再从B 袋任取一个球转放到A 袋中,结果A 袋中恰有个红球.

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   (1)求=1 时的概率;

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   (2)求随机变量的分布列及期望.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.(本小题满分12 分)

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已知如图(1),正三角形ABC 的边长为2a,CD 是AB 边上的高,E、F分别是AC 和BC 边上的点,且满足,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A―DC―B,如图(2).

   (1)试判断翻折后直线AB 与平面DEF的位置关系,并说明理由;

   (2)求二面角B―AC―D 的大小;

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19.(本小题满分13 分)

某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药物预防,规定每人每天早晚八时各服用一片,现知该药片每片含药量220 毫克. 若人的肾脏每12 小时从体内滤出这种药的60%,在体内的残留量超过386 毫克(含386 毫克),就将产生副作用.

   (1)某人上午八时第一次服药,问到第二天上午八时服完药时,这种药在人体内还残留多少?

   (2)长期服用这种药的人会不会产生副作用?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本小题满分13 分)

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椭圆的离心率为,右准线方程为,左、右焦点分别为F1,F2 .

   (1)求椭圆C 的方程

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   (2)若直线与以为直径的圆相切并与椭圆C 交于A,B 两点,

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21.(本小题满分13 分)

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为自然对数的底数,函数fx

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   (1)求证:当时,对一切非负实数x恒成立;

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   (2)对于(0,1)内的任意常数a,是否存在与a 有关的正常数,使得成立?如果存在,求出一个符合条件的;否则说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、选择题(每小题5 分,共40 分)

DCABD  ABC

二、填空题(每小题5 分,共35分)

9.     10.     11.91    12.②④

13.     14.(i)(2分)    (ii)(3分)

15.(i)(3分);    (ii) (2分)

20090401

,2 分

8,3 分

解得;……………………4分分

(2)

 ………………6分

…………8分

由余弦定理得

 ……………………10分

 …………………………12分

17.解:(1)= 1 表示经过操作以后A 袋中只有一个红球,有两种情形出现

①先从A 中取出1 红和1 白,再从B 中取一白到A 中

②先从A 中取出2 红球,再从B 中取一红球到A 中

…………………………(5分)

(2)同(1)中计算方法可知:

于是的概率分别列

0

1

2

3

P

 

E=……………………12分

18.解:(1)AB//平面DEF. 在△ABC 中,

∵E、F分别是AC、BC 上的点,且满足

∴AB//EF.

∴AB//平面DEF. …………3 分

(2)过D点作DG⊥AC 于G,连结BG,

∵AD⊥CD, BD⊥CD,

∴∠ADB 是二面角A―CD―B 的平面角.

∴∠ADB = 90°, 即BD⊥AD.

∴BD⊥平面ADC.

∴BD⊥AC.

∴AC⊥平面BGD.

∴BG⊥AC .

∴∠BGD 是二面角B―AC―D 的平面角. 5 分

在Rt△ADC 中,AD = a,DC = a,AC = 2a

在Rt

即二面角B―AC―D的大小为……………………8分

(2)∵AB//EF,

∴∠DEF(或其补角)是异面直线AB 与DE 所成的角. ………………9 分

∵AB =

∴EF=  ak .

又DC = a,CE = kCA = 2ak,

∴DF= DE =

………………4分

∴cos∠DEF=………………11分

…………………………12分

19.解:(1)依题意建立数学模型,设第n 次服药后,药在体内的残留量为an(毫克)

a1 = 220,a2 =220×1.4 ……………………2 分

a4 = 220 + a2 (1-0.6) = 343.2 ……………………5 分

(2)由an = 220 + 0.4an―1 (n≥2 ),

可得

所以()是一个等比数列,

不会产生副作用……………………13分

20.解:(1)由条件知:

……………………2分

b=1,

∴椭圆C的方程为:……………………4分

(2)依条件有:………………5分

…………7分

………………7分

…………………………9分

由弦长公式得

    得

=

 …………………………13分

21.解:(1)当

上单调递增,

……………………5分

(2)(1),

需求一个,使(1)成立,只要求出

的最小值,

满足

上↓

↑,

只需证明内成立即可,

为增函数

,故存在与a有关的正常数使(1)成立。13分

 


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