湖南省郴州市2009年高三第三次教学质量监测
数学试题(理)
一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只
1.已知集合则下列结论正确的是 ( )
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A. B.
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C. D.
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3.复数在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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6.函数的最大值和最小正周期分别为 ( )
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A.1,π B.2,2π C.,2π D.,π
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7.若的倾斜角为 ( )
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8.已知为等差数列,若,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取得最小正值时,n= ( )
A.11 B.20 C.19 D.21
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二、填空题(本大题共7个小题,每小题5分,共35分,请把答案填在题中横线上)
9.函数的反函数是
.
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10.若在的展开式中含有常数项,则正整数n 取得最小值时的常数项为
.
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11.将7 个不同的小球全部放入编号为2
和3
的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个
数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有____________
种.
(用数字作答)
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12.设是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题:
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①若;
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②若;
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③若l上有两点到的距离相等,则l//;
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④若.
其中正确命题的序号是____________.
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14.己知抛物线的焦点为F,准线l与对称轴交于R点,过已知抛物线上一点P(1,2)作PQ
l 于Q ,则(i)抛物线的焦点坐标是____________;(ii)梯形PQRF的面积是____________.
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三、解答题(本大题共6 个小题,共75 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. )
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已知△ABC
各顶点的直角坐标为A(―1,0)、B(1,0)、C(m,).
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(2)若|CA|
> |CB| ,且的值.
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17.(本小题满分12 分)在A,B
两只口袋中均有2
个红球和2 个白球,先从A
袋中任取2
个球转放到B 袋中,再从B 袋任取一个球转放到A
袋中,结果A
袋中恰有个红球.
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(1)求=1 时的概率;
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(2)求随机变量的分布列及期望.
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已知如图(1),正三角形ABC 的边长为2a,CD 是AB
边上的高,E、F分别是AC
和BC
边上的点,且满足,现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A―DC―B,如图(2).
(1)试判断翻折后直线AB
与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(2)求二面角B―AC―D
的大小;
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19.(本小题满分13 分) 某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药物预防,规定每人每天早晚八时各服用一片,现知该药片每片含药量220
毫克.
若人的肾脏每12 小时从体内滤出这种药的60%,在体内的残留量超过386
毫克(含386
毫克),就将产生副作用.
(1)某人上午八时第一次服药,问到第二天上午八时服完药时,这种药在人体内还残留多少?
(2)长期服用这种药的人会不会产生副作用?
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椭圆的离心率为,右准线方程为,左、右焦点分别为F1,F2 .
(1)求椭圆C
的方程
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(2)若直线与以为直径的圆相切并与椭圆C 交于A,B 两点,
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(1)求证:当时,对一切非负实数x恒成立;
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(2)对于(0,1)内的任意常数a,是否存在与a
有关的正常数,使得成立?如果存在,求出一个符合条件的;否则说明理由.
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一、选择题(每小题5 分,共40 分) DCABD ABC 二、填空题(每小题5 分,共35分) 9.
10.
11.91 12.②④ 13.
14.(i)(2分) (ii)(3分) 15.(i)(3分); (ii) (2分)
20090401 ,2 分 即8,3 分 解得;……………………4分分 (2) ………………6分 又 …………8分 由余弦定理得 ……………………10分 …………………………12分 17.解:(1)= 1 表示经过操作以后A 袋中只有一个红球,有两种情形出现 ①先从A
中取出1
红和1
白,再从B
中取一白到A 中
②先从A
中取出2
红球,再从B
中取一红球到A
中
…………………………(5分) (2)同(1)中计算方法可知:
于是的概率分别列
0 1 2 3 P
E=……………………12分 18.解:(1)AB//平面DEF. 在△ABC 中, ∵E、F分别是AC、BC
上的点,且满足 ∴AB//EF.
∴AB//平面DEF.
…………3 分 (2)过D点作DG⊥AC
于G,连结BG, ∵AD⊥CD,
BD⊥CD, ∴∠ADB
是二面角A―CD―B
的平面角. ∴∠ADB
= 90°,
即BD⊥AD. ∴BD⊥平面ADC.
∴BD⊥AC. ∴AC⊥平面BGD.
∴BG⊥AC
. ∴∠BGD
是二面角B―AC―D
的平面角.
5 分 在Rt△ADC 中,AD = a,DC = a,AC = 2a, ∴ 在Rt
即二面角B―AC―D的大小为……………………8分 (2)∵AB//EF,
∴∠DEF(或其补角)是异面直线AB
与DE
所成的角.
………………9 分 ∵AB
=, ∴EF=
ak . 又DC
= a,CE = kCA =
2ak, ∴DF=
DE = ………………4分 ∴cos∠DEF=………………11分 ∴ …………………………12分 19.解:(1)依题意建立数学模型,设第n 次服药后,药在体内的残留量为an(毫克) a1 = 220,a2 =220×1.4 ……………………2 分 a4 =
220 + a2 (1-0.6)
= 343.2 ……………………5 分 (2)由an =
220 + 0.4an―1 (n≥2
), 可得 所以()是一个等比数列,
不会产生副作用……………………13分 20.解:(1)由条件知: ……………………2分 得b=1, ∴椭圆C的方程为:……………………4分 (2)依条件有:………………5分 由…………7分 , 则 ………………7分 又
由 …………………………9分 由弦长公式得 由 得
= 又 …………………………13分 21.解:(1)当 令
上单调递增, ……………………5分 (2)(1), 需求一个,使(1)成立,只要求出 的最小值, 满足 上↓ 在↑,
只需证明内成立即可, 令 为增函数 ,故存在与a有关的正常数使(1)成立。13分
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