4. 、是半径为的圆上的两条互相垂直的半径(为圆心)，是该圆上任一点，且，则        ．

4.解答:分别以为轴，则，设，则，由，，，代入得.

5. 已知现有编号为①②③④⑤的5个图形,它们分别是两个直角边长为3、3的直角三角形；两个边长为3的正方形；一个半径为3的圆.则以这些图形中的三个图形为一个立体图形的三视图的概率为          .

5.解答:. ①②③；②③④； ③④⑤可构成一个立体图形的三视图.

6.设正方体的对称轴组成的集合为,对,都有异面直线使得,所成的最小角为,则          .

6.解答:,. .

7.设分别为的外心，，，动点满足，,

（1）求点的轨迹。

（2）当为的重心时，轨迹E与轴两个交点分别为，（位于下方）。动点M、N均在轨迹E上，且满足，试问直线和交点P是否恒在某条定直线上？若是，试求出的方程；若不是，请说明理由。     

7.解：（1）设为轨迹E上任意一点,显然A、B、C不共线，∴ 。又设

∵则，，得点坐标为，

∵ ，∴ ，∴的外心为

由    

①若，表示焦点在轴上的椭圆且出去两点；

②若，表示焦点在轴上的双曲线且出去两点；

（2）当为的重心时，轨迹的方程为：。

设：，则：.

由

   ，.

∴的坐标为

∴为：

联立的方程，解得：  ∴.

即点恒在定直线：上.

8. 设是函数的一个极值点.

（1）求的单调区间；

（2）设，,若存在使得成立，求的取值范围.

8.解：（1）

当时，或，.

单调减区间为,,单调增区间为.

当时，或，.

单调减区间为,,单调增区间为.

当时，, 单调减区间为,.

（2）由（1）知，当时, 在区间上的单调递增，在区间

上单调递减,而,,.

那么在区间上的值域是

在的值域为,

若，则一定存在使得成立.

若,则只要或，

由于.

所以,.解得:.