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★★★高考将考什么

【范例1】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，

因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．

（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．设，

可得．

在中，，，

则．

在中，．

解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．

过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，设，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．

所以二面角的大小是．

变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．

（1）证明//平面；

（2）设，证明平面．

证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.

在矩形ABCD中，，又，则，

连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.

又平面CDE， EM平面CDE，   ∴ FO∥平面CDE

（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，

且.

因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，

∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF.

【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。

【范例2】如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面

，平面，．

（Ⅰ）求证：与共面，与共面．

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）．

证明：以为原点，以所在直线分别为轴，

轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．

（Ⅰ）证明：

．

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

（Ⅱ）证明：，

，

，．

与是平面内的两条相交直线．

平面．

又平面过．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

．

二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

设分别为的中点，连结，

有．

，

于是．

由，得，

故，与共面．

过点作平面于点，

则，连结，

于是，，．

，．

，．

所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：平面，，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

平面．

又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角．

根据勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小为．

变式如图，已知是棱长为的正方体，

点在上，点在上，且．

（1）求证：四点共面；（4分）

（2）若点在上，，点在上，

，垂足为，求证：平面；（4分）

（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．

证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，

所以，故，，共面．

又它们有公共点，所以四点共面．

（2）如图，设，则，

而，由题设得，

得．

因为，，有，又，，所以，，从而，．

故平面．

（3）设向量截面，于是，．

而，，得，，解得，，所以．

又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．

于是．

故．

【范例3】如图，在长方体AC₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

（1）证明：D₁E⊥A₁D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D₁―EC―D的大小为.

解析：法1

（1）∵AE⊥面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

     ∴∠DHD₁为二面角D₁―EC―D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），

从而，，

设平面ACD₁的法向量为，

则也即，得，

从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

（3）设平面D₁EC的法向量，

∴

由  令b=1,  ∴c=2, a=2－x，

∴依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D₁―EC―D的大小为.

变式：如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P―ABCD的体积；

（Ⅱ）证明PA⊥BD.

 解析：（Ⅰ）如图，取AD的中点E，

连结PE，则PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.

根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角

的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，

四棱锥P―ABCD的体积V_P―ABCD=

（Ⅱ）法1  如图，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，3)，

A(2，－3，0)，B(2，5，0)，D(－2，－3，0)

所以

因为 所以PA⊥BD.

法2：连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算

可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，

得所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.  

所以∠EAO+∠ADF=90°   所以  AF⊥BD.

因为  直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。