山西省运城市2008―2009学年第二学期高三调研测试
数学试题(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．请在答卷页上作答。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．复数
(其中
为虚数单位)的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C
D．
3．已知向量
，
，若
，则
为（ ）
A．
B．
C． D．
4．在等比数列
中，
为其前项和，已知
，
，则此数列的公比
为（ ）
A．2 B．
5．设函数
，则其反函数
的图象是（ ）
6．设
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．设随机变量
且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知直线
，圆
，若圆心到直线
的距离最小，则实数
的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若
同时具有以下两个性质：①是偶函数；②对于任意实数
，都有
，则的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知一个球内有两个互相垂直的截面圆，且它们的公共弦长为2，两个圆心的距离为
，则这个球的半径为（ ）
A．2 B． C．
D．
11．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A．234 B．
12．已知抛物线
的准线与双曲线
交于A、B两点，点
为抛物线的焦点，若
为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．
的展开式中的的系数是
，则
= ．
14．曲线
在点
处切线的倾斜角的大小是
．
15．在棱长均相等的正三棱柱
中，
与平面
所成的角的正弦值为
．
16．已知直线：
过点
，若可行域
，的外接圆直径为
，则实数的值是
。
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在
中，角
、
、
的对边分别为、
、
，且满足
．
(1)求角B的大小；
(2)已知函数
，求
的取值范围。
18．(本小题满分12分)
如图，已知
平面
，
，
是
正三角形，且
．
(1)若
为
中点，求证：
平面
；
(2)求平面与平面所成二面角的大小．
19．(本小题满分12分)
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间
(单位：年)有关。若
，则销售利润为元；若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元．设每台该种电器的无故障使用时间，及这三种情况发生的概率分别为
，
，
，叉知，是方程
的两个根，且
(1)求，，的值；
(2)记
表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的期望．
20．(本小题满分12分)
数列的前项和为，
，
．求：
(1)数列的通项
；
(2)数列
的前项和
．
21．(本小题满分12分)
设函数
．
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间
上的最大值和最小值。
22．(本小题满分12分)
已知椭圆的方程为
，过其左焦点
且斜率为1的直线
交椭圆于
、
两点．
(1)若
与
共线，求椭圆的方程；
(2)若直线：
，在上求一点，使以椭圆的焦点为焦点且过点的双曲线
的实轴最长，求点的坐标和此双曲线的方程．
运城市2008―2009学年第二学期高三调研测试
1．C 2．D 3．D 4．B 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 1 0．A 11．B 12．B
13．
14．
15．
16．3或5
提示：
1．C 
，故它的虚部为
．(注意：复数
的虚部不是
而是
)
2．D 解不等式
，得
，∴
，
∴
，故
3．D 
，
，∴
，∴
．
4．B 两式相减得
，∴
，∴
．
5．C 令
，解得
，∴
．
6．C 由已知有
或
解得
或
7．D 由正态曲线的对称性和
，知
，即正态曲线关于直线
对称，于是，
，所以
8．B 圆心到直线
的距离最小为0，即直线经过圆心
，
∴
，∴
，∴
．
9．C 对于A、D，
与
，
不是对称轴；对于B，电
不是偶函数；对于C，
符合要求．
10．A 设两个截面圆的圆心分刷为
、
，公共弦的中点为M，则四边形
为矩形，∴
，
．
11． B 应先求出2人坐进20个座位的排法。排除2人相邻的情况即可。
共有11+12=23个座位，去掉前排中间3个不能入坐的座位，还有20个座位，则2人坐入20个座位的排法有
种，排除①两人坐前排相邻的12种情况；②两人坐后排相邻的22种情况，∴不同排法的种数有
（种）．
12．B 抛物线的准线
，焦点为
，由
为直角三角形，知
为斜边，故意
，又将代入双曲线方程得
，得
，解得
，∴离心率为
。
13． 展开式中的
的系数是
，
14． 
，∴
15． 设棱长均为2，由图知
与
到
的距离相等，而到平面的距离为
，故所成角的正弦值为
。
16．3或5 作出可行域（如图），知
在直线
上，
∴
，
，在直线：
中，
令
，得
，∴坐标为
，∴
，
解得或5。
17．解：（1）由
，得
，…2分
∴
，∵
，∴
，∴
…………………………………………………………………………4分
∵
，∴
………………………………………5分
（2）∵，∴
，
∴
……………8分
∵
，∴
，∴
……………10分
18．解：（1）证明：延长
、
相交于点
，连结
。
∵
，且
，∴为
的中点，
为
的中点。
∵
为
的中点，由三角形中位线定理，有
∵
平面
，
平面，∴
平面…………………6分
（2）（法一）由（1）知平面
平面
。
∵为的中点，∴取的中点
，则有
。
∵
，∴
∵
平面
，∴
为
在平面上的射影，∴
∴
为平面与平面所成二面角的平面角。……………………10分
∵在
中，
，
，
∴
，即平面与平面所成二面角的大小为
。…………12分
（法二）如图，∵平面，，
∴
平面，
取的中点
为坐标原点，以过且平行
的直线为
轴，
所在的直线为 轴，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系。
设
，则
，
，
，
，
∴
，
设
为平面的法向量，
则
取
，可得
又平面的法向量为
，设
与
所成的角为
，………………… 8分
则
，
由图可知平面与平面所成二面角为锐角。
∴平面与平面所成二面角的大小为………………………………12分
19．解：（1）由已知得
，∵
，∴
∵
、
是方程
的两个根，∴
∴
，
…………………………………………6分
（2）
的可能取值为0，100，200，300，400
，
，
，
，
即的分布列为：
……………………………………………………10分
故
………………………12分
20．解：（1）∵
，∴
，∴
又∵
，∴数列
是首项为1，公比为3的等比数列，
。
当
时，
（），∴
（2）
，
当
时，
；
当时，
，①
②
①-②得：
∴
又∵
也满足上式：∴
……………………12分
21．解：
的定义域为
……………………………………………………1分
（1）
……………………………………………………3分
当
时，
；当
时，
；当
时，。
从而分别在区间
，
上单调递增，在区间
上单调递减
……………………………………………………6分
（2）由（1）知在区间
上的最小值为
……………8分
又
，
所以在区间上的最大值为
…………………12分
22．解（1）将直线
的方程
代入
，
化简得
令
，
同步练习册答案
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