2007年南通市高三第二次调研考试

数    学

 

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，包含选择题（第1题~第10题，共10题）、填空题（第11题~第16题，共

6题）、解答题（第17题~第21题，共5题）三部分。本次考试时间为120分钟。考试结束

后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及

答题卡上。

3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符。

4．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置

作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

5．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

 

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．

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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

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三、解答题：本大题共5小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．

（1） 函数＝lg(x²－2x－3)的定义域是集合M，函数＝的定义域是集合P，则P∪M等于    （ A ）

           （A）（－∞，－1）∪[1，＋∞）                （B）（－∞，－3）∪[1，＋∞）

（C）（－3，＋∞）                                    （D）（－1，＋∞）

（2） 在等比数列｛a_n｝中，a₁＝3，a₆＝24，则a₁₆等于   （ D ）

（A）864                 （B）1176                   （C）1440                   （D）1536

（3） 直线关于直线对称的直线方程是   （ A ）

（A）                              （B）

（C）                                     （D）

（4） 若平面α⊥平面β，l，m，n为两两互不重合的三条直线，，α∩β＝l，且m⊥n，则   （ D ）

（A）且n∥l                                     （B）或n∥l     

（C）且                                     （D）或

（5） △ABC中，若，则△ABC一定是   （ C ）

（A）锐角三角形     （B）钝角三角形        （C）直角三角形        （D）等腰三角形

（6） 函数＝在区间（－2，2）上    （ B ）

（A）单调递增                                           （B）单调递减

（C）先单调递增后单调递减                      （D）先单调递减后单调递增

（7） 如图，已知A，B，C是表面积为48π的球面上的三点，

AB＝2，BC＝4，∠ABC＝60°，O为球心，则二面角

O－AB－C的大小为    （ D ）                                        

（A）                  （B）

（C）arccos        （D）arccos

 

（8） 一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点，把纸片折叠使点A与点Q重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于P点，当点A运动时点P的轨迹是   （ A ）

（A）椭圆                      （B）双曲线               （C）抛物线               （D）圆

（9） 方程的解共有   （ C ）

（A）1个             （B）2个           （C）3个           （D）4个

（10）如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架（由24个棱长为1个单位长度的正方体框架组合而成）．一建筑工人从

A点沿脚手架到点B，每步走1个单位长度，

且不连续向上攀登，则其行走的最近路线共

有   （ B ）

（A）150条                  （B）525条

（C）840条          （D）1260条

 

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

（11）不等式的解集为     ▲     ．答案：

（12）函数的最小正周期T＝      ▲     ．答案：π

（13）过双曲线的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于   ▲   ．答案：2

（14）已知O是△ABC内一点，，则△AOB与△AOC的面积的比值为    ▲    ．

       答案：

（15）在的二项展开式中，所有有理项之和为S，当x＝2时，S等于   ▲  ．答案：2048

（16）已知集合A={(x，y)│|x|＋|y|=2，x，y∈R}，B={(x，y)│|xy|=a，x，y∈R}，若A∩B中的元素所对应的点恰好是一个正八边形的八个顶点，则正数a的值为     ▲     ．答案：

 

三、解答题：本大题共5小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分14分）

袋中装有20个不同的小球，其中有n（，n＞1）个红球，4个蓝球，10个黄球，其余为白球．已知从袋中取出3个颜色相同的彩球（不是白球）的概率为．

（Ⅰ）求袋中的红球、白球各有多少个？

（Ⅱ）从袋中任取3个小球，求其中一定有红球的概率．

解：（Ⅰ）设“从袋中任取3球全为红球”、“从袋中任取3球全为蓝球”、“从袋中任取3 球全为黄球”分别为事件A，B，C，由题意知，A，B，C两两互斥，则

，．  …………………………………………4分

故从袋中取出成3个都是相同颜色彩球（不是白球）的概率为

＝，

∴． …………………………………………………6分

由此得从袋中取3球不可能全为红球，从而．又，n＞1，故．

答：袋中有2个红球4个白球． …………………………………………………………8分

         （Ⅱ）设“从袋中任取3个小球，其中一定有红球”为事件D，则

＝．

答：从袋中任取3个小球，一定有红球的概率为．………………………………14分

（18）（本小题满分14分）

如图，在长方体中，，，

，M为AB的中点，E，F分别为和AD₁的中点．

（Ⅰ）求证：直线EF⊥平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小．

解法一：（Ⅰ）延长AE交A₁B₁于点N，则点N为A₁B₁的中点．

连D₁N，∵E，F分别是A₁M，AD₁的中点，

∴EF∥D₁N．…………………………………………………………………………2分

在Rt△A₁C₁D₁与Rt△ND₁A₁中，∵，

∴Rt△A₁C₁D₁∽Rt△ND₁A₁，∴A₁C₁⊥D₁N．………………………………………4分

又AA₁⊥D₁N，A₁C₁∩AA₁＝A₁，∴D₁N⊥平面AA₁C₁C．…………………………6分

（Ⅱ）过点A₁作A₁H⊥AN，垂足为H，连D₁H．由三垂线定理，得 D₁H⊥AN，

∴AN ⊥平面A₁D₁H，∴平面A₁D₁ H⊥平面AEF．

∴A₁D₁在平面AEF中的射影即为D₁H，

∠A₁D₁H就是A₁D₁与平面AEF所成的角．………………………………………10分

在Rt△AA₁N中，AA₁＝2，A₁N＝，∴A₁H＝．

tan∠A₁D₁H＝＝，故直线A₁D₁与平面AEF所成的角为arctan．

∵AD∥A₁D₁，∴直线AD与平面AEF所成的角为arctan．…………………14分

解法二：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA₁为z轴建立空间坐标系．

则A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），A₁（0，0，2），

B₁（，0，2），C₁（，1，2），D（0，1，2）． 

∴＝（0，0，2），＝（，1，0）．

又M（，0，0），E（，0，1），F（0，，1），

∴＝（－，，0）． ………………………………………………………3分

由?＝（－，，0）?（0，0，2）＝0，

?＝（－，，0）?（，1，0）＝0，∴⊥，⊥．

又A₁C₁∩AA₁＝A₁，∴EF⊥平面AA₁C₁C．………………………………………6分

（Ⅱ）设向量n＝（1，x，y）是平面AEF的一个法向量．

由（Ⅰ），可得＝（－，0，1），＝（0，，1）． ………………8分

由?n＝0，?n＝0，得  解之，得

故n＝（1，，－）． ……………………………………………………11分

设直线AD与平面AEF所成的角为α，则sinα＝＝＝．

所以设直线AD与平面AEF所成的角为arcsin．…………………………14分

（19）（本小题满分14分）

将圆按向量a=（－1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使 =λa，求直线l的方程及对应的点C的坐标．

解：圆化为标准方程为，

按向量a＝（－1，2）平移得⊙O方程为 x²＋y²＝5．……………………………………2分

∵＝λa，且||＝||，∴⊥，∥a． ……………………5分

∴k_AB＝．设直线l的方程为y＝x＋m，联立，得

将方程（1）代入（2），整理得5x²＋4mx＋4m²－20＝0．（※） …………………………8分

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

        x₁＋x₂＝－，y₁＋y₂＝，＝（－，）． ……………………………10分

因为点C在圆上，所以，解之，得．

此时，（※）式中的△＝16m²－20(4m²－20)＝300＞0．…………………………………12分

所求的直线l的方程为2x－4y＋5＝0，对应的C点的坐标为（－1，2）；或直线l的方程为2x－4y－5＝0，对应的C点的坐标为（1，－2）．……………………………………14分

解法二：同解法一，得⊙O的方程．……………………………………………………2分

由＝λa，有||＝|λa |，从而λ＝±1．……………………………………………5分

（1）当λ＝1时，＝a＝（－1，2），所以C（－1，2）．从而OC的中点为M（－，1）．

由，可得点M在AB上，又由，

得直线的l的方程为，即．………………………………9分

（2）当λ＝－1时，＝－a＝（1，－2），所以C（1，－2）．

OC的中点为N（，－1）．

同样由点N在AB上，可得直线l方程为． ……………………………12分

所求的直线l的方程为2x－4y＋5＝0，对应的C点的坐标为（－1，2）；或直线l的方程为2x－4y－5＝0，对应的C点的坐标为（1，－2）．……………………………………14分

（20）（本小题满分14分）

已知是定义在R上的函数，对于任意的实数a，b，都有，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的解析式（）．

解：（Ⅰ）令，则，从而．……………………2分

由，可得．………………5分

（Ⅱ）．

设，则．…………………………………………………9分

两边同乘以，可以得到，即．

故数列为公差为等差数列．  ……………………………………………12分

由，可得，

所以，即．   ……………………………………………14分

（21）（本小题满分14分）

设函数＝x|x－a|＋b．

（Ⅰ）求证：为奇函数的充要条件是a²＋b²＝0；

（Ⅱ）设常数b＜2－3，且对任意x∈[0，1]，＜0恒成立，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）充分性：若a²＋b²＝0时，即a＝b＝0，所以 f（x）＝x | x|．

∵f（－x）＝－x |－x|＝－x |x|＝－f（x），对一切x∈R恒成立，

∴f（x）是奇函数． ……………………………………………………………………2分

            必要性：若f（x）是奇函数，则对一切x∈R，f（－x）＝－f（x）恒成立，即

                    －x |－x－a|＋b＝－x |x－a|－b．

令x＝0，得b＝－b，所以b＝0．………………………………………………………4分

再令x＝a，得  2a | a |＝0，∴a＝0，即a²＋b²＝0．…………………………………6分

（Ⅱ）解法一：∵b＜2－3＜0，∴当x＝0时，a取任意实数不等式恒成立，

故考虑x∈（0，1］时，原不等式变为 | x－a |<－，即 x＋＜a＜x－．

∴只需对x∈（0，1］，满足 ………………………………8分

对（1）式，由b<0时，在（0，1］上，f（x）＝x＋为增函数，

∴（x＋）_max＝f（1）＝1＋b．

∴a＞1＋b．                               （3） ……………………………10分

对（2）式，当－1≤b＜0时，在（0，1］上，x－＝x＋≥2．

当x＝时，x－＝2，∴（x－）_min＝2．

∴a＜2．                             （4）

由（3）、（4），要使a存在，必须有 即－1≤b＜－3＋2．

∴当－1≤b＜－3＋2时，1＋b ＜a＜2．……………………………………12分

当b＜－1时，在（0，1］上，f（x）＝x－为减函数，（证明略）

∴（x－）_min＝f（1）＝1－b．

∴当b＜－1时，1＋b ＜a＜1－b．

综上所述，当－1≤b＜2－3时，a的取值范围是（1＋b，2）；当b＜－1时，a的取值范围是（1＋b，1－b）．………………………………………………………14分

            解法二：f（x）＝x|x－a|＋b＜0（x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，即x|x－a|＜－b．

由于b是负数，故x²－ax＜－b，且x²－ax＞b．

（1）x²－ax＜－b在x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，设g(x)= x²－ax＋b，

则 即

其中（1），（3）显然成立，由（2），得a＞1+b．（※）………………………………8分

（2）x²－ax－b＞0在x∈[0，1]，b＜2－3恒成立，设h(x)= x²－ax－b，

① 即a＜0．

结合（※），得b＜－1时，1＋b＜a＜0；－1≤b＜2－3时，a值不存在．  ……9分

② 即

结合（※），得b＜－1时，0＜a≤2；－1≤b＜2－3时，b＋1＜a＜2．…11分

③ 即

结合（※），得b＜－1时，2＜a＜1－b；－1≤b＜2－3时，a不存在．………12分

综上，得－1≤b＜2－3时，b＋1＜a＜2；b＜－1时，b＋1＜a＜1－b．…14分