2006―2007学年度高三第二次联考
数学（文）试卷
命题学校：鄂南高中 命题人：王再盛
考试时间:2007.3.29 下午15:00―17:00
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题５分，共50分。在每小题给出的四个选项中，
1．设集合
≤x≤2},B=
,则A∩B=
( )
A.［0,2］ B.
C.
D.
2．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是
A.
B. 
C. 
D. 
3．函数y＝
的最小正周期是 ( )
A.1
B
4．已知二面角
的大小为
，
为异面直线，且
，则所成的角为（ ）
A.
B.
C.
D.
5．过点P
作圆C:
的切线,则切线方程为 ( )
A．
B．或
C．
D．或
6．函数
的反函数是 ( )
A.
B. 
C. 
D.
7．设f(x) 是定义域为R的奇函数,且在
上是减函数.若
，则不等式
的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
8．设
使得
是
的必要但不充分条件的实数
的取值范围是 （ ）
A. 
B.
C. 
D.
9．设函数
.若将的图象沿x轴向右平移
个单位长度，得到的图象经过坐标原点;若将的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）, 得到的图象经过点
则 （ ）
A．
B．
C． 
D． 适合条件的
不存在
10．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组的频数成等比数列，设视力在4.6到
之间的学生数为
最大频率为
，则a, b的值分别为（ ）
A．70, 3.2 B．77, 5.3
C．70, 0.32 D．77, 0.53
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在题中横线上。
11．如果
的展开式中各项系数之和为1024，则
.
12．设
.映射
使得B中的元素都有原象.则这样的
映射
有
个.
13．抛物线C的顶点在坐标原点,对称轴为y轴.若过点M
任作一条直线交抛物线C于A
,B
两点,且
，则抛物线C的方程为
.
14．若正三棱柱的底面边长为3,侧棱长为
.则该棱柱的外接球的表面积为
.
15. 
设
实数x、y满足不等式组 若当且仅当
时,
取得最大值,则不等式组中应增加的不等式可以是
（只要写出适合条件的一个不等式即可）.
三、解答题：本大题共６小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分12分）在ΔＡＢＣ中，
（１）求AB边的长度； （２）求 
的值.
17．（本小题满分12分）已知等差数列
满足：公差
(n=1,2,3,…)
①求通项公式
；
②求证:
+ 
+
+…+
.
18．（本小题满分12分）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
和
，假设两人投球是否命中，相互之间没有影响；每次投球是否命中，相互之间也没有影响。
①甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人都没有命中的概率；
②甲、乙两人在罚球线各投球两次，求甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多的概率.
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥E－ABCD中，
AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，
AB=BC=CE=2CD= 2, ∠BCE=1200．
①求证：平面ADE⊥平面ABE ；
②求点C到平面ADE的距离.
20．（本小题满分13分）如图，
分别为椭圆
和双曲线
的右焦点，A、B为椭圆和双曲线的公共顶点.P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的第一象限内的点，且满足
=
,
.
⑴求出椭圆和双曲线的离心率；
（2）设直线PA、PB、QA、QB的斜率分别是
,
.求证：
.
21．（本小题满分14分）设x=1是函数
的一个极值点（
）.
（I）求与的关系式（用表示），并求
的单调区间；
（II）设m>0，若在闭区间
上的最小值为
,最大值为0，求m与a的值.
2006―2007学年度高三第二次联考
一．1.B 2.B 3.A 4.B 5.A 6.D 7.C 8.A 9.A 10.C
二．11.5
12.36
13.
14. 
15. 适合①
②
的不等式如:
, 
或其它曲线型只要适合即可
三．16.解: （１）
∴
即AB边的长度为2.
…………… …………5分
（２）由已知及（１）有:
∴
……………8分
由正弦定理得: 
……………10分
∴
=
…………12分
17.解: ①依题意可设
………1分
则
对n=1,2,3,……都成立 ………3分
∴ 又
解得
∴
………6分
②∵
…………9分
∴
+ 
+
+…+
……12分
18.解：（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，
则
…………3分
∵“甲、乙两人各投球一次，都没有命中”的事件为
…………5分
（Ⅱ）∵甲、乙两人在罚球线各投球二次时,
甲命中1次,乙命中0次的概率为
…………7分
甲命中2次,乙命中0次的概率为
…………9分
甲命中2次,乙命中1次”的概率为
…………11分
故甲、乙两人在罚球线各投球两次，甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多的
概率为P=
…………12分
19.解法1:取BE的中点O,连OC.
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
以O为原点建立空间直角坐标系O－ｘｙｚ如图，
则由已知条件有:
,
,
,
……4分
设平面ADE的法向量为ｎ=
，
则由ｎ?
及ｎ?
可取ｎ
……6分
又AB⊥平面BCE. ∴AB⊥OC.OC⊥平面ABE
∴平面ABE的法向量可取为m＝
.
∵ｎ?m?=0,
∴ｎ⊥m∴平面ADE⊥平面ABE. ……8分
⑵点C到平面ADE的距离为
……12分
解法2:取BE的中点O,AE的中点F,连OC,OF,CD.则
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE， AB=2CD
∴CD ， CD∴
∥ FD ……3分
∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又AB⊥平面BCE.
∴OC⊥平面ABE. ∴FD⊥平面ABE.
从而平面ADE.⊥平面ABE. ……6分
②∵CD ,延长AD, BC交于T
则Ｃ为ＢT的中点．
点C到平面ADE的距离等于点B到平面ADE的距离的
.……8分
过B作BH⊥AE，垂足为H。∵平面ADE.⊥平面ABE。∴BH⊥平面BDE.
由已知有AB⊥BE.
BE=
，AB= 2, ∴BH=
，
从而点C到平面ADE的距离为
……………… ……………12分
或∥ FD, 点C到平面ADE的距离等于点O到平面ADE的距离为.
或取A B的中点M。易证
∥ DA。点C到平面ADE的距离等于点M到平面ADE的距离为.
20. 解:
(I)设O为原点，则
=2
，
=2
。
而=
，得=
，
于是O、P、Q三点共线。 ……………2分
因为
所以PF∥QF/，且 
，……………3分
得
，
∴
∴
……………5分
因此椭圆的离心率为
双曲线的离心率为
……………7分
（II）设
、
，
点P在双曲线
的上，有
。
则
.
所以
。 ①…………9分
又由点Q在椭圆
上，有
。
同理可得
②
……………10分
∵O、P、Q三点共线。∴
。
由①、②得
。
……………13分
21. 解:（I）
……………1分
由已知有：
∴
,∴
……………3分
从而
令=０得：ｘ1＝1，ｘ2＝
． ∵
∴ｘ2
当ｘ变化时，、f（ｘ）的变化情况如下表：
ｘ
＋
－
＋
增函数
减函数
增函数
从上表可知：在
,上是增函数;
在
，上是减函数 ……………6分
（II）∵m>0，∴m+1>1. 由（I）知：
①当0<m<1时,
. 则最小值为
得:
……8分
此时
.从而
∴最大值为
得
此时
适合. ……10分
②当m
1时, 在闭区间
上是增函数.
∴最小值为
⑴
最大值为
=0. ⑵………12分
由⑵得：
⑶
⑶代入⑴得:
.即
又m1, ∴
从而
∴此时的a,m不存在
综上知:
,.
………14分
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