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    雅礼中学2008届高三第八次质检数学（理科）试卷

     

    本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试时量120分钟.

    第Ⅰ卷（选择题）

    一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

    1．已知集合，则是的    （   ）

           A  充分而不必要条件                             B  必要而不充分条件

           C  充要条件                                           D  既不充分也不必要条件

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    2．下列函数中周期为1的奇函数是                                            （   ）

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    A                   B     

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    C                        D 

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    3．下列不等式中恒成立的个数有                                                                           （   ）

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           ①                                 ②

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           ③             ④

           A  4                        B  3                        C  2                        D  1

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    4．25人排成5×5方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选出方法种数为                      （   ）

           A  600                        B  300                        C  100                        D  60

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    5．已知的前n项和                 （   ）

    A  67                 B  65                C  6l                  D  56

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    6．对于平面直角坐标系内任意两点（，）、（，），定义它们之间的一种“距离”：‖‖=??+??．给出下列三个命题：

    ①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

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    ②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

    ③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

    其中真命题的个数为                                                    （   ）

    A  0                B  1                 C  2             D  3

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    7．如图,设O点在内部,且有,则的面积与的面积的比为                                                              （   ）

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    A  2             B              

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    C  3             D   

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    8． 已知点P 是抛物线上一点，设点P到此抛物线准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是                           （   ）

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        A  5              B  4                 C              D

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    A 

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    B 

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    C 

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    D 

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    10．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是                                                  （   ）

    A  3844              B  3943                C  3945                 D  4006

     

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    二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.

    11．某校为了了解高三年级学生的身体状况，现用分层抽样的方法，从全段600名学生中抽取60名进行体检，如果在抽取的学生中有男生36名，则在高三年级中共有女生      名．

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    12．，则                 

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    13．通过两个定点 且在轴上截得的弦长等于的圆的方程是      

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    14．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③；④α⊥β；⑤α∥β.

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    （）当满足条件           时，m∥β；

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    （）当满足条件           时，m⊥β　 （注意：只要填条件中的序号）

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    15．设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意，，有，，则

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    （）       ；

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    （）若记，那么         

     

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    三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    16．（本小题满分12分）

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    已知△ABC的三边成等比数列，且，

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    （Ⅰ）求；                 

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    （Ⅱ）求的面积。

     

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    17．（本小题满分12分）

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    　　设轮船有两个发动机，轮船有四个发动机，如果半数或半数以上的发动机没有故障，轮船就能够安全航行．现设每个发动机发生故障的概率是的函数：（其中为发动机启动后所经历的时间,为正常数，每个发动机工作相互独立）．

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    （Ⅰ）分别求出轮船安全航行的概率（用表示）；

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    （Ⅱ）根据时间的变化，比较轮船和轮船哪一个更能安全航行（除发动机发生故障外，不考虑其他因素）．

     

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    18．（本小题满分12分）

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    如图，等腰直角△中，，平面，∥，.

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    （Ⅰ）求二面角的大小；

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    （Ⅱ）求点到平面的距离；

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    19．（本小题满分13分）

    如图所示，某校把一块边长为2a的等边△ABC的边角地(如图)辟为生物园，图中DE把生物园分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上.

    （Ⅰ）设AD＝x（x≥a），ED＝y，求用x表示y的函数关系式；?

    （Ⅱ）如果DE是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，DE的位置应该在哪里?如果DE是参观线路，即希望它最长，DE的位置又应该在哪里?请给予证明.?

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    20．（本小题满分13分）

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    如图，设是椭圆的左焦点，直线为对应的准线，直线与轴交于点，线段为椭圆的长轴，已知，且．

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    （Ⅰ）求证：对于任意的割线，恒有；

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    （Ⅱ）求三角形△ABF面积的最大值．

     

     

     

     

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    21．（本小题满分13分）

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    已知点是且

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    （Ⅰ）求的定义域；

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    （Ⅱ）求证：；

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    （Ⅲ）求证：数列{an}前n项和

     

     

     

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    一、选择题：ADBAA    BCCDB

    二、填空题

    11.;        12． ;          13．

    14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

    三、解答题：

    16．解：（1）

                                                                    …………5分

    由成等比数列，知不是最大边

                                                        …………6分

    （2）由余弦定理

    得ac=2                                                                                                        …………11分

    =                                                                          …………12分

    17.解：（Ⅰ）．

    （Ⅱ）．

    1当时，则．此时轮船更安全．

    2当时，则．此时轮船和轮船一样安全．

    3当时，则．此时轮船更安全．

    解：方法一

    （Ⅰ）取的中点，连结，由知，又，故，所以即为二面角的平面角.

    在△中，，，，

    由余弦定理有

    ，

    所以二面角的大小是.（6分）

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直线上，所以点到平面的距离即为△的边上的高.

    故.                             …（12分）

     

    19．解: （Ⅰ）∵△ABC的边长为2a，D在AB上，则a≤x≤2a，?

    ∵△ADE面积等于△ABC面积的一半，

    ∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?

    解得AE＝，?

    在△ADE中，由余弦定理:?

    y2＝x2＋?cos60°，?

    ∴y2＝x2＋－2a2

    ∴y＝  (a≤x≤2a)?

    （Ⅱ）证明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，则a2≤t≤4a2

    且y＝，设f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?

    当t∈（a2，2a2）时，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?

    f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）

    ＝（t1－t2）?，?

    ∵a2＜t1＜t2＜2a2?

    ∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?

    ∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?

    ∴f（x）在（a2，2a2）上是减函数.?

    同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函数.?

    又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，当t＝2a2时，f（x）有最小值，即x＝a时，y有最小值，且ymin＝a，此时DE∥BC且AD＝a；当t＝a2或4a2时，f（x）有最大值，即x＝a或2a时，y有最大值，且ymax＝a，此时DE为AB或AC边上的中线.?

     

    20.解：（Ⅰ）∵，∴，

    又∵，∴，

    ∴，

    ∴椭圆的标准方程为．                                      ………（3分）

    当的斜率为0时，显然=0，满足题意，

    当的斜率不为0时，设方程为，

    代入椭圆方程整理得：．

    ，，．

    则

              ，

    而

    ∴，从而．

    综合可知：对于任意的割线，恒有．                ………（8分）

    （Ⅱ），

    即：，

    当且仅当，即（此时适合于的条件）取到等号．

    ∴三角形△ABF面积的最大值是．                 ………………………………（13分）

    21.解：（Ⅰ）由

    故x>0或x≤－1

    f(x)定义域为                          …………………………（4分）

    （Ⅱ）

    下面使用数学归纳法证明：

    ①在n=1时，a1=1，<a1<2，则n=1时（*）式成立.

    ②假设n=k时成立，

    由

    要证明：

    只需

    只需(2k+1)3≤8k(k+1)2

    只需1≤4k2+2k

    而4k2+2k≥1在k≥1时恒成立.

    只需证：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1时恒成立.

    于是：

    因此得证.

    综合①②可知（*）式得证.从而原不等式成立.                     ………………9分

    （Ⅲ）要证明：

    由（2）可知只需证：

    …………（**）

    下面用分析法证明：（**）式成立。

    要使（**）成立，只需证：

    即只需证：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)

    只需证：2n>1

    而2n>1在n≥1时显然成立.故（**）式得证：

    于是由（**）式可知有：

    因此有：

                         ……………………………………（13分）

     


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