海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习
数 学（理科） 2008.5
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。
2. 选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。其他小
题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题
（1）直线x+
y+1=0的倾斜角是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）某中学有高一、高二、高三学生共1 600名，其中高三学生400名.如果用分层抽样的方法从这1 600人抽取一个160人的样本，那么应当从高三学生中抽取的人数是 （ ）
（A）20 （B）40
（C）60 （D）80
（3）函数y= 
(x<-1)的反函数是 （ ）
（A）y=-
(x>0)
（B）y=(x>0)
（C）y=-(x<-1) （D）y=(x<-1)
（4）函数f(x)=log2(2x)与g(x)=
(
)x-1在同一直角坐标系下的图象是 （ ）
（5）设m,n,l是三条不同的直线，
，
，
是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）（A）若m,n与l所成的角相等，则m∥n
（B）若与，所成的角相等,则∥
（C）若m，n与所成的角相等，则m∥n
（D）若∥,m
，则m∥
（6）若an=
+
+…+
(n=1,2,3…),则an+1-an= （ ）
（A）
（B）-
（C）
- （D）+
（7）已知元素为实数的集合A满足条件：若a
A,则
A,那么集合A中所有元素的乘积为 （ ）
（A）-1 （Ｂ）1 （C）0 （D）±1
（8）双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1, F2，点Pn(xn, yn)(n=1,2,3…)在其右支上，且满足|Pn+
（A）4 016
（Ｂ）4 015 （C）4 016 （D）4 015
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数 学（理科） 2008.5
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
（9）已知映射f：A
B,集合A中元素x在对应法则f作用下的象为log3x,那么A中元素
的象是
.
（10）集合A={
≥0}，B={x||x-2|<3}, A∪B= .
（11）在等差数列{an}中，若a9=6,则a7-a3=
.
（12）设圆x2+ y2-2x=0关于直线x+y=0对称的圆为C，则圆C的圆心坐标为 ；再把圆C沿向量a=(1，2)平移得到圆D,则圆D的方程为 .
（13）在棱长为2的正方体ABCD-A1B
（14）中国象棋中规定：马每走一步只能按日字格（也可以是横日“
”）的对角线走.例如马从方格中心点O走一步，会有8种走法.
则从图中点A走到点B，最少需要
步，按最少的步数走，共有
种走法.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
（15）（本小题共12分）
设函数f(x)=p?q，其中向量p=(sinx,cosx+sinx),
q= (2cosx,cosx-sinx),xR.
（Ⅰ）求f（）的值及函数f(x)的最大值;
（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间.
（16）（本小题共14分）
如图，正方体ABCD-A1B
（Ⅰ）求证：PD⊥AD1；
（Ⅱ）当A1P=A1B1时，求CP与平面D1DCC1所成角的正弦值；
（Ⅲ）当A1P=
A1B1时，求点C到平面D1DP的距离.
 |
某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动.A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其他奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个问题就结束竞猜且最多回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个.假定参赛者答对每个题的概率均为
.
（Ⅰ）求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；
（Ⅱ）设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，求Eη.
（18）（本小题共13分）
如图，矩形ABCD中，AB=
，BC=2，椭圆M的中心和准线分别是已知矩形的中心和一组对边所在直线，矩形的另一组对边间的距离为椭圆的短轴长，椭圆M的离心率大于0.7.
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求椭圆M的方程；
（Ⅱ）过椭圆M的中心作直线l与椭圆交于P，Q两点，设椭圆的右焦点为F2，当∠PF2Q=时，求△PF2Q的面积.
 |
已知函数f(x)=-x3+ax2-4(aR).
（Ⅰ）若函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线的倾斜角为
,求a；
（Ⅱ）设f(x)的导函数是f′( x).在（Ⅰ）的条件下，若m,n［-1，1］，求f(m)+ f′( n)的最小值;
（Ⅲ）若存在x0(0,+∞),使f(x0)>0，求a的取值范围.
（20）（本小题共14分）
已知函数y=f(x),
xN*, y N*满足:
①对任意a,bN*,a≠b,都有af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a);
②对任意nN*都有［f(n)］=3n.
（Ⅰ）试证明：f(x)为N*上的单调增函数；
（Ⅱ）求f(1)+f(6)+f(28)；
（Ⅲ）令an=f(3n),nN*试证明: 
≤
+…+
<.
海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习
数 学（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
（D）
（B）
（A）
（A）
（D）
（C）
（B）
（C）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分）
（9）-1 （10）{x|x<-4,或x>-1} （11）4
（12）（0，-1）,（x-1)2+(y-1)2=1 （13）
(14)4,8
三、解答题（本大题共6小题,共80分）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p =(sinx,cosx+sinx), q =(2cosx,cosx-sinx),
∴f（x）=p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx-sinx)
=2sinxcosx+cos2x-sin2x …………………………………… 2分
=sin2x+cos2x ………………………………………………
4分
∴ f(
)=
. ……………………………………………………
5分
又f(x)=sin2x+cos2x=sin(2x+
) ……………………………
6分
∴函数f(x)的最大值为. ………………………………………
7分
当且仅当x=
+k
(k
Z)时，函数f(x)取得最大值.
（Ⅱ）由2k-
≤2x+≤2k+ ( kZ), ……………………
9分
得k-
≤x≤k+. …………………………………………
11分
函数f(x)的单调递增区间为［k-, k+］(
kZ). ……
12分
（16）（共14分）
解法一：（Ⅰ）证明：连结A1D，在正方体AC1中，∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴A1D是PD在平面A1ADD1内的射影. …………………………………… 2分
∵在正方形A1ADD1中，A1D⊥AD1，∴PD⊥AD1. ……………………… 4分
解：（Ⅱ）取D
∵A1D1⊥平面D1DCC1，∴PM⊥平面D1DCC1.
∴CM为CP在平面D1DCC1内的射影.则∠PCM为CP与平面D1DCC1
所成的角. …………………………………………………………… 7分
在Rt△PCM中,sinPCM=
=
.
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为
. …………………………… 9分
（Ⅲ）在正方体AC1中，D1D∥C
∵C
平面D1DP内，
∴C
∴点C到平面D1DP的距离与点C1
到平面D1DP的距离相等.
又D1D⊥平面A1B
DD1
平面D1DP
∴平面D1DP⊥平面A1B
又平面D1DP∩平面A1B
D1P,过C1作C1H⊥D1P于H,
则C1H⊥平面D1DP.
∴C1H的长为点C1到平面D1DP的距离. ………………………12分
连结C1P，并在D
C1H?D1P=PQ?D
.
∴点C到平面D1DP的距离为
. ………………………………
14分
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空
间直角坐标系D-xyz.
由题设知正方体棱长为4，则
D(0,0,0) ,A(4,0,0)，
B1(4,4,4) ,A1(4,0,4)，
D1(0,0,4) ,C（0,4,0）.
………………………………………1分
(Ⅰ)设P(4，y0，4),
∴
=(4,y0,4),
∴
=(-4,0,4)
……………………………3分
∵
?
=-16+16=0,
∴PD⊥AD1. …………………………………………………………… 4分
（Ⅱ）由题设可得,P（4,2,4），故
=（4，-2，4）.
∵AD⊥平面D1DCC1, ∴
=(4,0,0)是平面D1DCC1的法向量. ……………
……………………………………………………………………………… 7分
∴cos<,
>=
=.……………………………………………… 8分
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为. …………………………………… 9分
(Ⅲ) ∵
=(0,4,0),设平面D1DP的法向量n=(x,y,z),
∵P(4,3,4), ∴
=(0,0,4),=(4,3,4).
则
即
令x=-3,则y=4.
∴n=(-3,4,0). ……………………………………………………………… 12分
∴点C到平面D1DP的距离为d= =. ………………………… 14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，…… 1分
依题意，答对一题的概率为
，则
P（M）=
…………………………………………………… 3分
=15×
=
=
. ………………………………………………… 4分
（Ⅱ）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，…,6，……… 5分
则P(η=1)=,P(η=2)=
,P(η=3)=
,P(η=4)=
, P(η=5)=
,
P(η=6)= 
, ……………………………………………………… 11分
所以,η的分布列是
η
1
2
3
4
5
6
Eη=1×
+2×
×+…+5×
×+6×
.
设S=1+2×+…+5×,
则S=+2×
+3×
+4×+5×,
S=1++++
-5×
=
-5×,
Eη=-5×+6×=
=
. ………………………
13分
答：某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为；某人参加B种竞猜活动，
结束时答题数为η，Eη为.
（18）（共13分）
解：如图，建立直角坐标系，依题意:设
椭圆方程为
+
=1(a>b>0),
……………………………… 1分
(Ⅰ)依题意：
=
，b=1,
a2= b2+c2, ………… 4分
∵椭圆M的离心率大于0.7,
∴a2=4, b2=1.
∴椭圆方程为
+y2=1. ……………………………………………………
6分
(Ⅱ)因为直线l过原点与椭圆交于点P,Q，设椭圆M的左焦点为F1.由对称性可知，
四边形PF1QF2是平行四边形.
∴△PF2Q的面积等于△PF
∵∠PF2Q=
，∴∠F1PF2=.
设|PF1|=r1,
|PF2|=r2,则
………………………………
10分
∴r1
r2=
. …………………………………………………………………
11分
∴S△
=S△
= 
r1 r2sin=
. …………………………………
13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）f′(x)=-3x2+2ax. ……………………………………………………… 1分
据题意，f′(1)=tan=1, ∴-3+2a=1,即a=2.
……………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-x3+2x2-4,
则f′(x)=-3x2+4x.
x
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
-7
-
0
+
1
f(x)
-1
-4
-3
…………………………………………………………………………… 5分
∴对于m［-1,1］,f(m)的最小值为f(0)=-4 …………………
6分
∵f′( x)=-3x2+4x的对称轴为x=
,且抛物线开口向下，
∴x［-1,1］时，f′( x)的最小值为f′( -1)与f′( 1)中较小的.
∵f′( 1)=1，f′( -1)=-7,
∴当x［-1,1］时，f′( x)的最小值为-7.
∴当n［-1,1］时，f′ ( x)的最小值为-7. ……………………
7分
∴f(m)+ f′( n)的最小值为-11. ………………………………… 8分
(Ⅲ) ∵f′( x)= -3x
.
①若a≤0,当x>0时，f′( x)<0, ∴f(x)在［0,+∞
上单调递减.
又f(0)=-4,则当x>0时,f(x)<-4.
∴当a≤0时,不存在x0>0,使f(x0)>0. …………………………………… 11分
②若a>0,则当0<x<
时，f ′( x)>0,当x>时，f ′( x)<0.
从而f(x)在(0, 
上单调递增，在 [,+∞
上单调递减.
∴当x(0,+∞)时,
f(x)max=f(
)=-
+
-4=
-4.
据题意，-4>0，即a3>27.
∴a>3. ………………………………
14分
综上，a的取值范围是(3,+∞).
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）由①知，对任意a,bN*，a＜b,都有（a
b）（f (a)f（b））＞0，
由于a-b＜0, 从而f（a）＜f（b），所以函数f（x）为N*上的单调增函数. …3分
（Ⅱ）令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1,否则f（f（1））= f（1）=1,与f（f（1））=3矛盾.
从而a＞1,
而由f（f（1））=3，即得f（a）=3.
又由（Ⅰ）知f（a）＞f（1）=a ,即a＜3.
于是得1＜a＜3,又aN*,从而a=2，即f（1）=2 ……………… 5分
进而由f（a）=3知，f（2）=3.
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，………………………………… 7分
f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81.
由于5427=8154=27,
而且由（Ⅰ）知，函数f（x）为单调增函数，因此f（28）=54+1=55.
从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66.……………………… 9分
（Ⅲ）f（an）=f（f（3n））=3×3n=3n+1,
an+1=f（3n+1）=f（f（an））=3an,a1=f（3）=6.
即数列{an}是以6为首项，以3为公比的等比数列.
∴an=6×3n1=2×3n（n=1，2，3…）.………………………… 11分
于是
+
+…+
=
（
+
+…+
）=×
.
显然（
）＜.………………………………………………12分
另一方面3n=（1+2）n=1+
×2+
×22+…+
×2n≥1+2n,
从而（1）≥（1
）=
.
综上得
≤++…+＜.………………………………14分
说明：其他正确解法按相应步骤给分.
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