数　学　试　卷    （120分钟） 2007．4

第Ⅱ卷　（非机读卷　共88分）

考生须知

1．考生要认真填写密封线内的学校、班级、姓名、考试编号。

2．第Ⅱ卷包括七道大题，共8页。答题前要认真审题，看清题目要求，按要求认真作答。

3．答题时字迹要工整，画图要清晰，卷面要整洁。

4．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔。

题　号

二

三

四

五

六

七

八

总 分

得　分

阅卷人

复查人

9．计算：                  ．                                      

10.下表中，若学生的平均分为3分（5分制），则x的值是  _____ .   

分数

0

1

2

3

4

5

学生人数

x

2

2

5

10

1

11．观察下列各式：

97² = 9409，  997² = 994009，  9997² = 99940009 .

猜想：99997² =             .

12．如图，四边形是正方形，是的中点，，

点是上一动点，则的最小值是            .

13．计算：     

解：

14．解方程：

解：

15. 如图，AB、CD相交于点，现给出如下三个论断：①；②；③．请你选择其中两个论断为条件，另外一个论断为结论，构造一个真命题，并加以证明．你的选择是：

条件：                                       .

结论：                           .

证明：

16．已知，求代数式的值．

解：

17．观察我市某区居民经济情况统计图表，回答下列问题：

（1）该区农民年人均纯收入相对上一年，哪年增长最快？增长了多少元？

（2）为在世人瞩目的2008年奥运会上，展示我国民风采，该区将人均收入指标定为：农民年人均纯收入的平均增长率不低于9%，城镇居民年人均可支配收入的平均增长率不低于10%. 请你分别预计2007年农民人均纯收入和2008年城镇居民人均可支配收入最低各达到多少元？

（3）根据以上信息，请你提出一条积极合理的建议.

18. 如图，机器人从y轴上一点A沿着南偏西的方向，走了2个单位长度，到达B点后观察到原点O在它的东南方向上，求点A的坐标． 

解：

19. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出当时，的取值范围.

解：

五、解答题（共3个小题，每小题5分，共15分．）

20．已知：如图，中，，是上一点，以点为圆心，为半径的圆切于点.

 （1）求证：；

 （2）若，求圆的半径；

 （3）若点关于的对称点为，试探究当点满足什么条件时，四边形为菱形.

证明：

21. 列方程解应用题：

某校同学准备在“五?一”黄金周到距学校10千米的植物园踏青游玩，一部分同学骑自行车先走，20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达. 已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度.

解：

在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之有效的方法：若，则；若，则；若，则.

例如：在比较与的大小时，小东同学的作法是：

请你参考小东同学的作法，解决如下问题：

    （1）请你比较与的大小；

    （2）已知、为实数，且，设，，试比较、的大小；

（3）一天，小明爸爸的男同事来家做客，已知爸爸的年龄比小明年龄的平方大7岁，爸爸同事的年龄是小明年龄的5倍，请你帮忙算一算，小明该称呼爸爸的这位同事为“叔叔”还是“大伯”？

解：

六、解答题（本题满分6分．）

23．已知：如图，△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，

∠BDC=60°，CE⊥BD，垂足为E，连结AE.  

（1）求证：DE=DA ; 

（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对，并证明；

若没有，请说明理由；

（3）求△BEC与△AEB的面积之比.

七、解答题（本题满分8分．）

24．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，把绕点逆时针方向旋转得到（点转到点的位置），抛物线经过、、三点.  注：抛物线的顶点坐标为

 （1）求抛物线的解析式；

 （2）若抛物线的顶点为，求的面积；

 （3）在抛物线上是否存在点，使的面积

等于的面积，若存在，请求出点的坐标，

若不存在，请说明理由.

解：

八、解答题（本题满分9分．）

25．（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线的交点. 请你完成以下作图：过点B作PA的平行线BP?，过点C作PD的平行线交BP?于点P?，连结PP?；

（2）在（1）的条件下，判断PP?与BC的位置关系，并证明你的结论；

（3）如图2，若点P为矩形ABCD内任意一点. 求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，该四边形的两条对角线分别等于线段AB和BC，且互相垂直.

解：（1）画图：