鞍山市2009年高三毕业班第二次质量调查
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页。考试时间120分钟。满分150分。
注意：所有答案都必须填写到答题卡指定位置上，写在本试卷上的无效！
第Ⅰ卷 (选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．已知
，那么
A．－2 B．2
C．－12 D．12
3．“
成立”是“
成立”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．如果执行右面的程序框图，那么输出的s =
A．10 B．22
C．46 D．
5．等比数列
的前n项和为Sn，若
，
，则此等比数列的公比等于
A．2 B．
6．使得
是增函数的区间为
A．
B．
C．
D．
7．等比数列
中，
的值是
A．20 B．
8．点
到直线
的距离不大于3，则t的取值范围是
A．
B．
C．
D．
9．三棱锥A-BCD的所有棱长等于2，P是三棱锥A-BCD内任意一点，P到三棱锥每一个面的距离之和是一个定值，这个定值等于
A．2
B．
C．
D．
10．若实数
满足
，且
的最大值等于34，则正实数
A．
B．
C．1 D．
11．已知点F1、F2分别是双 曲线
的左、右焦点，过F1且垂直于
轴的直线与双曲线交于A、B两点，若
为锐角三角形。则该双曲线的离心率e的取值范围是
A．
B．
C．（1，2） D．
12．在计算机算法语言中有一种函数
叫做取整函数， 是不超过
的最大整数．例如：
．设函数
,则函数
的值域为
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非选择题共90分)
本卷分必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为 .
第13题图
14．给出下列命题：
①函数
为非零常数）的图象可由函数y=3x的图象经过平移得到；
②函数
在R上既是奇函数又是增函数；
③不等式
的解集为
；
④函数
至多有一个交点；
⑤若定义在R上的函数
满足
，则函数是周期函数.其中正确命题的序号是
.（把你认为正确命题的序号都填上）
15．若不等式
的解集总包含区间
,则实数
的取值范围是
.
16．若
为
的各位数字之和，如
，
，则
；记
，
，…，
，
，则
．
三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知向量m
，n
， m?n
，且
为锐角．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数
的值域．
18．（本小题满分12分）
把一根长度为8的铁丝截成3段．
（Ⅰ）如果三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率；
（Ⅱ）如果把铁丝截成2，2，4的三段放入一个盒子中，然后有放回地摸4次，设摸到长度为2的次
数为
，求
．
19．（本小题满分12分）
如图，已知等腰直角三角形
，其中∠=90º，
．点A、D分别是
、
的中点，现将△
沿着边
折起到△
位置，使
⊥
，连结
、
．
（Ⅰ）求证：
⊥；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值．
第19题图
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：
．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为
和
，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点
任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于
和
四点．设原点到四边形
某一边的距离为
，
第20题图
试证：当
时，有
．
21．（本小题满分12分）
已知
（Ⅰ）求函数
上的最小值；
（Ⅱ）对一切
的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD．
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED
，⊙O半径为3，求OA的长．
第22题图
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程.
已知曲线C：
为参数，0≤
<2π)，
（Ⅰ）将曲线化为普通方程；
（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.
已知不等式
的解集是
（Ⅰ）求实数
，
的值：
（Ⅱ）证明：
．
鞍山市2009年高三毕业班第二次质量调查考试
一、选择题.(单项选择,5×12=60分.答案涂在答题卡上的相应位置.)
1.C 2. A 3. B 4. B 5. B 6. B 7. A 8. C 9.D 10. B 11.D 12. B
二、填空题.( 5×4=20分,答案写在答题纸的相应空格内.)
13．
14．②④⑤ 15．
16．11
三、解答题.（12×5+10=70分,答案写在答题纸的答题区内.）
17．（Ⅰ）∵ m?n
……… 2分
∴
，解得
……… 6分
（Ⅱ）
……… 8分
∵
，∴
………10分
∴
的值域为[
] ………12分
18．（Ⅰ）把一根长度为8的铁丝截成3段，且三段的长度均为整数，共有21种解法．
(可视为8个相同的小球放入3个不同盒子，有
种方法) … 3分
其中能构成三角形的情况有3种情况：“2，3，
则所求的概率是
……… 6分
（Ⅱ）根据题意知随机变量
……… 8分
∴
……12分
19．（Ⅰ）∵点A、D分别是
、
的中点，∴
. …… 2分
∴∠
=90º.∴
.∴ 
,
∵
,∴
⊥平面
. ……… 4分
∵
平面,∴
. ……… 5分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系
．
则
（－1，0，0），
（－2，1，0），
（0，0，1）.
∴
=（－1，1，0），
=（1，0，1）, …6分
设平面
的法向量为
=（x，y，z），则：
，
……… 8分
令
，得
，∴=（1，1，－1）
显然，
是平面
的一个法向量，=（
）． ………10分
∴cos<，>=
．
∴二面角
的平面角的余弦值是
.
………12分
20．（Ⅰ）
……… 4分
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等……… 5分
⑴当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为
，
． ……… 6分
⑵当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为，
． ……… 7分
⑶当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，
、
P在椭圆上，
.......①；R在椭圆上，
....
②利用Rt△POR可得 
……… 9分
即 
整理得 
． ………11分
再将①②带入，得
综上当
时，有． ………12分
21．（Ⅰ）
时，
单调递减，
当
单调递增。
①若
无解；
②若
③若
时，
上单调递增，
；
所以
……… 4分
（Ⅱ）
则
设
则
时，
单调递减，
单调递增，
所以
因为对一切
恒成立，所以
； ……… 8分
（Ⅲ）问题等价于证明
，
由（Ⅰ）可知
当且仅当
时取到，设
则
，当且仅当时取到，
从而对一切
成立． ………12分
22．（Ⅰ）连接OC，∵OA=OB，CA=CB ∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线 … 5分
（Ⅱ）∵ED是直径，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC ∴
∴BC2=BD•BE
∵tan∠CED=
,∴
∵△BCD∽△BEC, ∴
设BD=x,则BC=2 又BC2=BD•BE，∴(2x)2=x•(x+6)
解得x1=0,x2=2, ∵BD>0, ∴BD=2∴OA=OB=BD+OD=3+2=5 … 10分
23．（Ⅰ）
… 5分
（Ⅱ）
… 10分
23．（Ⅰ）
，
… 5分
（Ⅱ）
… 10分
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