因为cosA≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因为xR,所以.

当时，f(x)有最大值，

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，

所以所求函数f(x)的值域是

（18）（本小题满分12分）

三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.

 (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；

(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.

解：本小题考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力..

记“第i个人破译出密码”为事件A₁(i=1,2,3)，依题意有

且A₁，A₂，A₃相互独立.

（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有

B＝A₁?A₂??A₁??A₃+?A₂?A₃且A₁?A₂?，A₁??A₃，?A₂?A₃

彼此互斥

于是P(B)=P(A₁?A₂?)+P（A₁??A₃）+P（?A₂?A₃）

　　　　＝

　　　　＝.

答：恰好二人破译出密码的概率为.

（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.

D＝??，且，，互相独立，则有

P（D）＝P（）?P（）?P（）＝＝.

而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.

答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P―ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

解：本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力..

解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=?2=.

又S△=

设点A到平面PCD的距离h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACD?OP＝S_△PCD?h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以，

，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，

（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x₀,y₀,x₀），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

＝0，所以　　-x₀+ x₀=0_,

n?＝0，　　　　-x₀+ y₀=0，
即x₀=y₀=x₀,　　　

取x₀=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d＝

（20）（本小题满分12分）

已知｛a_n｝是正数组成的数列，a₁=1，且点（）（nN*）在函数y=x²+1的图象上.

(Ⅰ)求数列｛a_n｝的通项公式；

(Ⅱ)若列数｛b_n｝满足b₁=1,b_n+1=b_n+，求证：b_n       ?b_n+2＜b²_n+1.

解：本小题考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，推理与运算能力.解法一：

（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1,

所以数列｛a_n｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

故a_n=1+(a-1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n=n从而b_n+1-b_n=2ⁿ.

b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+­­­­­­­­­­­???+（b₂-b₁）+b₁

=2^n-1+2^n-2+???+2+1

＝=2ⁿ-1.

因为b_n?b_n+2-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2^n-1-1)²

=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2²ⁿ⁺²-2-2ⁿ⁺¹-1)

=-5?2ⁿ+4?2ⁿ

=-2ⁿ＜0,

所以b_n?b_n+2＜b,

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为b₂=1,

b_n?b_n+2- b=(b_n+1-2ⁿ)(b_n+1+2ⁿ⁺¹)- b

            =2ⁿ⁺¹?b_n-1-2ⁿ?b_n+1-2ⁿ?2ⁿ⁺¹

＝2ⁿ（b_n+1-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n-2ⁿ）

=…

=2ⁿ（b₁-2）

=-2ⁿ〈0，

所以b_n-b_n+2<b²_n+1

 (21)（本小题满分12分）

已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.

(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.

解：（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.

解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′（x）=3x²+2mx+n,

则g(x)=f′(x)+6x=3x²+(2m+6)x+n;

而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0.

于是f′(x)＝3x²-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0<x<2,

故f(x)的单调递减区间是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

X

(-∞.0)

0

(0,2)

2

(2,+ ∞)

f′(x)

+

0

－

0

＋

f(x)

极大值

极小值

由此可得：

当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；

当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；

当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.

综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.

(22)（本小题满分14分）

如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M.

 (?)求证：点M恒在椭圆C上；

(?)求△AMN面积的最大值.

解：)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力。

解法一：

（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b²=a²-c²=3,

所以椭圆C前方程为.

(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，

n(x-4)-(m-4)y=0.

x₀=.

所以点M恒在椭圆G上.

(?)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t²+4）y²+6ty-9=0.

设A(x₁,y₁),M（x₂，y₂），则有：y₁+y₂=

|y₁-y₂|=

令3t²+4=λ(λ≥4),则

|y₁-y₂|＝

因为λ≥4，0<

|y₁-y₂|有最大值3，此时AM过点F.

△AMN的面积S_△AMN=

解法二：

（Ⅰ）问解法一：

（Ⅱ）（?）由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),              ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0,                  ……②

n(x-4)-(m-4)y=0,                  ……③

由②，③得：当≠.          ……④

由④代入①，得=1（y≠0）.

当x=时，由②，③得：

解得与a≠0矛盾.

所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.

（Ⅱ）同解法一.