高三摸底数学(文科) 第页(共8页)
赣州市2009年高三年级摸底考试
文 科 数 学2009年3月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x－2＜2}，则“m∈A”是“m∈B”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知函数f(x)＝则f[f()]的值是
A.9 B. C.－9 D.－
3.已知(x－)8展开式中的常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和为
A.28
B
4.已知椭圆＋＝1，且m，n，m＋n成等差数列，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
5.有下列命题：
①函数f(x)＝sin x＋(x∈(0，π))的最小值是2；
②在△ABC中，若sin
③如果正实数a，b，c满足a＋b＞c，则＋＞；
④如果y＝f(x)是奇函数(x∈R)，则有f(0)＝0.
其中正确的命题是
A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.②③
6.已知a，b为空间两条异面直线，A是直线a，b外一点，则经过A点与两条异面直线a，b都相交的直线的可能情况为
A.至多有一条 B.至少有一条
C.有且仅有一条 D.有无数条
7.在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项之和S9等于
A.66 B
8.设F为抛物线y2＝4x的焦点，△ABC的三个顶点都在此抛物线上，且＋＋＝0，则||＋||＋||等于
A.3 B
9.已知f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，则g(x)＝f(x2)的最大值为
A.1 B
10.已知x，y满足约束条件则z＝的最小值为
A. B. C.4 D.－
11.方程2sin θ＝cos θ在[0,2π)上解的个数是
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
12.已知C为线段AB上的一点，P为直线AB外一点，满足||－||＝2，|－|＝2，＝，I为PC上一点，且＝＋λ(＋)(λ＞0)，则的值为
A.1 B
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.
13.某市A、B、C三个区共有高中学生20000人，其中A区高中学生9000人，现采用分层抽样的方法从这三个区所属高中学生中抽取一个容量是600人的样本进行新课程学习作业的调查，则A区应抽取 人.
14.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴的距离是2π，则ω的值为 .
15.已知棱长为2的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放一个小球，则这些球的最大半径为 .
16.五个同学传一个球，球从小王同学手中首先传出，第五次传球后，球回到小王手中的概率是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(cos，－sin)，且x∈[0，].
(1)求a?b及|a＋b|；
(2)若f(x)＝a?b－2λ|a＋b|的最小值为－，求λ的值.
18.(本小题满分12分)
一个不透明的箱子内装有材质、重量、大小相同的7个小球，且每个小球的球面要么只写有数字“08”，要么只写有文字“奥运”.假定每个小球每一次被取出的机会都相同，从中摸出2个球都写着“奥运”的概率是，现甲、乙两人做游戏，方法是：不放回地从箱子中轮流摸取一个球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到两人中有一人取得写着文字“奥运”的球时游戏结束.
(1)求该箱子内装着写有数字“
(2)求当游戏结束时总球数不多于3的概率.
19.(本小题满分12分)
如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G为△ABC的重心，M为GD的中点.
(1)求直线DG与平面ABC所成的角；
(2)求异面直线CG与MB所成的角；
(3)求二面角G―MC―B的大小.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在区间[－1,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增.
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(2x)＝m有三个不同的实数解，求实数m的取值范围.
21.(本小题满分12分)
设An为数列{an}的前n项和，An＝(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝4n＋3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)把数列{an}与数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列，求证：数列{dn}的通项公式为dn＝32n＋1.
22.(本小题满分12分)
已知F1(－2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|－|PF2|＝2，记点P的轨迹为S，若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
(1)求轨迹S的方程；
(2)无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m,0)，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值；
(3)过P、Q作直线x＝的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记λ＝，求λ的取值范围.
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1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D
13.270 14. 15. 16.
17.解：(1)a?b＝cosx?cos－sinx?sin＝cos 2x.2分
|a＋b|＝＝＝2.4分
又∵x∈[0，]，∴cos x＞0，∴|a＋b|＝2cos x.5分
(2)f(x)＝cos 2x－4λcos x，
即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.6分
①当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，
∴－1－2λ2＝－，解得λ＝.8分
②当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，
∴1－4λ＝－，解得λ＝(舍).10分
③当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，无解.11分
综上所述，λ＝为所求.12分
18.解：(1)设箱子内装着n个写有数字“
则＝.2分
解得n＝4.4分
∴该箱子内装有4个写有数字“08”的球.
(2)当游戏结束时，总取球数为1的概率是；6分
当游戏结束时，总取球数为2的概率是×＝；8分
当游戏结束时，总取球数为3的概率是××＝；10分
∴当游戏结束时，总取球数不多于3的概率是.12分
19.解：(1)延长CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中点.1分
∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分
而DC⊥平面ABC，∴三角形DCG是等腰直角三角形，
即直线DG与平面ABC所成的角为45°.4分
(2)作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是异面直线GC与BM所成的角或补角.5分
∵M是DG的中点，ME＝GC＝2，
BE＝＝＝2.6分
过M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，
∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，
∴cos∠EMB＝＝－.7分
∴异面直线GC与BM所成的角为arccos.8分
(2)过B作直线BF⊥GC于F， BF⊥平面GMC.9分
∵△CNB是正三角形，故BF＝BCcos 30°＝3，过F作FS⊥MC于S，连BS，三角形DCG是等腰直角三角形.10分
M为GD的中点，∴GD⊥CM，
∴FS∥GD，FS＝FCsin 45°＝.11分
∴tan∠FSB＝＝，
∴二面角B―MC―G的大小是arctan.12分
20.解：(1)由函数f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在区间[－1,1]上是单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x＝1取得极小值.1分
∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋
∴a＝.4分
(2)由(1)知f(x)＝－x4＋x3＋x2－2x－2，
∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2.5分
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分
∴函数f(x)有极大值f(－1)＝－，f(2)＝－，极小值f(1)＝－.8分
∵关于x的方程f(2x)＝m有三个不同的实数解，令2x＝t(t＞0)，
即关于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三个不同的实数解.9分
在t∈(0，＋∞)上y＝f(t)与y＝f(x)图象一致.11分
又f(0)＝－2，由数形结合可知，－＜m＜－.12分
21.解：(1)由An＝(an－1)，An＋1＝(an＋1－1).1分
∴an＋1＝(an＋1－an)，即＝3，2分
且a1＝A1＝(a1－1)，
得a1＝3.3分
∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列.4分
通项公式为an＝3n.5分
(2)不妨设数列{dn}中的第n项分别是数列{an}的第p项和数列{bn}的第q项，即3p＝4q＋3.6分
所以(4－1)p＝4q＋3.7分
∴C4p＋C4p－1(－1)1＋…＋C4?(－1)p－1＋C(－1)p＝4q＋3.8分
4q＝4k＋(－1)p－3，(k∈Z，p，q∈Z*).9分
p为奇数，当p＝1时，q＝0(舍去).10分
∴p＝2n＋1，所以dn＝a2n＋1＝32n＋1.12分
22.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F
故轨迹S的方程为x2－＝1(x≥1).4分
(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.5分
∴解得k2＞3.6分
∵?＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝＋m2.7分
∵MP⊥MQ，∴?＝0，
故得3(1－m2)＋k2(m2－
∴解得m＝－1.8分
当m＝－1时，MP⊥MQ，当直线l的斜率不存在时，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知结论也成立.
综上，当m＝－1时，MP⊥MQ.9分
(3)∵a＝1，c＝2，∴x＝是双曲线的右准线.10分
由双曲线定义得：|PA|＝|PF2|＝|PF2|，|QB|＝|QF2|.
(法一)∴λ＝＝
＝＝＝11分
∵k2＞3，∴0＜＜ ，故＜λ＜.12分
注意到直线的斜率不存在时，|PQ|＝|AB|，此时，λ＝.13分
综上，λ∈[，).14分
(法二)设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
∴＜θ＜，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则∠PQC＝|－θ|，
∴λ＝＝＝＝.12分
由＜θ＜得，＜sin θ≤1，故λ∈[，].14分
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