抚顺市2009届高考调研试题
数学试题 (理工类)
（本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共150分．考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题，共6分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一项正确）
1.设复数
，
（
），若
为实数，则
等于
A. －2 B. －
2.已知
,
,
,
A.
B.
C.
D.
3.已知
、
是不共线的向量，
，
（
、
），则
、
、
三点共线的充要条件是
A. λ＋μ=1 B.λ－μ=
4.设映射
是实数集
到实数集
的映射，若对于实数
，
在中不存在原象，则的取值范围是
A.[1,+∞) B.（1,+∞） C.（－∞,1） D.（－∞,1]
5.“同一首歌”心连心文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，在它们之间再插入3个舞蹈节目，如果这三个舞蹈节目在节目表中既不排头，也不排尾，则不同的插入方法有（ ）种
A.200 B
6.已知
是第一象限的角，且
，那么
A.
B.
C.
D.
7. 双曲线
（a＞0，b＞0）中，虚轴的两个端点与一个焦点恰好构成等边三角形，若虚轴长为2，则两条准线间的距离为
A. 
B. 
C.
D.?
8.等差数列
中，
是其前
项和，
，
，则
的值为
A.2006
B
9.设
、
、
为三个不同的平面，
、
为两条不同的直线，在下列四个条件中：①
，
，
； ②
，，
；③，
，
； ④
，
，
。是
的充分条件的有：
A.①② B.②④ C.②③ D. ③④
10.已知点M（a，b）在由不等式组
所在平面区域的面积是
A．8 B．
11.已知函数
（其中
是自然对数的底数）的反函数为
，则有
A. 
?
B. ?
C. ?
D. ?
12．若不等式
在
上恒成立,则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 半径为
的球面上有、、三点，其中点与、两点间的球面距离均为
，、两点间的球面距离均为
，则球心到平面
的距离为___ _ .
14. 
展开式中，所有项的系数之和为 ．
15.
、
(
为原点)是圆
的两条互相垂直的半径，
是该圆上任一点，且
，则
．
16．如图，B地在A地的正东方向
地在B地的北偏东30°方向
的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离
比到B的距离远
选一处M建一座码头，向B、C两地转运
货物.经测算，从M到B、M到C修建公
路的费用分别是a万元/km、
那么修建这两条公路的总费用最低是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知向量
，
（
，
）.函数
，
的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为，且过点
.
（1）求函数
的表达式；
（2）当
时，求函数的单调区间。
18．（本小题满分12分）
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是
，甲、丙两人都回答错的概率是
，乙、丙两人都回答对的概率是
.
（1）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；
（2）用
表示回答该题对的人数，求的分布列和数学期望
.
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥
的底面
是正方形，侧面
是等腰三角形且垂直于底面，
，
，
、
分别是
、
的中点。
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小。
20．（本小题满分12分）
已知数列中，
，
，其前项和满足
.令
.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若
，求证：
（
）；
21．（本小题满分12分）
已知:点A(0,1),点R在y轴上运动, 点T在x轴上,N为动点,且
（1）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（2）如图所示：过点B（-2，0）的直线与曲线C交于点P、Q，
若在曲线C上存在点M，使得
是以PQ为斜边的直角三角形，求直线的斜率
的取值范围。
22．（本小题满分12分）
已知函数
.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若
对满足
的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）
（3）求证：对任意正数
、
、、
，恒有：
.
2009届调研试题数学一(理科)
一、选择题: C C D B D A A C B B Ａ Ｄ
（2）由（Ⅰ）
，
.
的可能取值为：
、
、
、
.
则
；
；
；
.…………9分
∴的分布列为
的数学期望
.…………12分
故二面角
的大小为
…………………………12分
解法二：如图，以
为原点，建立空间直角坐标系，使
轴，
、
分别在
轴、
轴上。
20．解：（1）由题意知
即
……2分
∴
……5分
检验知
、时，结论也成立，故
.…………6分
（2）由于
,故
.…………12分
21．解：（1）设
，由
知：R是TN的中点，…………………1分
则T(-x,0),R(0,
),
=O 则（-x,- ）?(1,- )=0………………3分
∴ 点N的轨迹曲线C的方程为：
……………5分
（2）设直线
的方程为
，代入曲线C的方程得: 
此方程有两个不等实根，
……………6分
M在曲线C上，P、Q是直线与曲线C的交点，
设
则
，
是以PQ为斜边的直角三角形
……8分
,
,有
由于
，
∴
∴
…………10分
t为点M的纵坐标，
关于
的方程
有实根，
，
直线的斜率
且
，
或
…12分
22．解（1）
∴
的增区间为
，减区间为
和
.…………3分
极大值为
，极小值为
.…………5分
（2）原不等式可化为
由（1）知，
时，
的最大值为
.
∴
的最大值为
，由恒成立的意义知道
，从而
…8分
(3)设
则
.
∴当
时，
，故
在
上是减函数，
又当
、
、
、
是正实数时，
∴
.
由的单调性有：
，
即
.…………12′
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