绝密★启用前 试卷类型：A
珠海市2009年高三年级第二次调研考试
高三理科数学
2009.5
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页． 满分150分．考试用时120分钟．所有的试题的答案都填写在答题卡的相应位置．
参考公式：
锥体积公式：
（S为底面面积，h为高）
导数公式：
如果事件
相互独立，那么 
如果事件
在一次试验中发生的概率是
，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
即
，则 
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.函数
的定义域是
A. 
B.
C. 
D.
2.若复数
是纯虚数(i是虚数单位)，则实数a的值为
A. 6 B.
3.如图,平行四边形
对角线
交于
，
为
中点，则
A.
B. 
C. 
D. 
4.数列1，11，111，1111，…，
，…的前10项之和是
A．
B．
C．
D．
5. 点
满足：
，则点P到直线
的最短距离是
A. 
B. 
D. 
6. 已知
，
，则
的值为
A. 
B. 
C. 
D. 
7.右边流程图中, 语句“S=S×n”将被执行的次数是
A．4 B．5
C．6 D. 7
8.下列四种说法中,错误的个数是
①．命题“
”的否定是“
”
；
②．“命题
为真”是“命题
为真”的必要不充分条件；
③．“若
”的逆命题为真；
④．若实数
,则满足:
的概率为
；
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．
9. 以
为顶点且离心率为
的双曲线的标准方程是____________．
10.已知随机变量X～
，若
，则
;
11．一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．
12.
甲、乙等五名医生被分配到四川灾区
四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名医生，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种（用数字做答）．
13. （坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为
和
，O为极点，则三角形OAB的面积=_____．
14. （几何证明选讲选做题）
如下图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，
于D，若AD=1，
，则圆O的面积是
．
15. （不等式选讲选做题）
已知实数
满足：
，则
的取值范围为____________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，根据二人以往比赛资料统计，在一局比赛中，甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，且各局比赛互不影响。现在甲、乙二人准备进行三局比赛．
（1）求在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局的概率；
（2）用ξ表示三局比赛中甲获胜的局数，求ξ的分布列及数学期望．
17．（本小题满分12分）
已知函数
的最大值为3，
的图像的相邻两对称轴间的距离为2，在y轴上的截距为2．
（1）求函数的解析式；
（2）求
的单调递增区间．
18.（本小题满分14分）
如图, 在直三棱柱ABC－A1B
AA1＝4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求多面体
的体积；
（3）求二面角
的平面角的正切值．
19.（本小题满分14分）
已知椭圆
，
是其左右焦点．
（1）若
为椭圆上动点，求
的最小值；
（2）若
分别是椭圆长轴的左右端点，为椭圆上动点，设直线
斜率为
，且
，求直线
斜率的取值范围．
20.（本小题满分14分）
已知正数数列
满足：
，其中
为数列的前
项和．
（1）求数列的通项
；
（2）求
的整数部分．
21.（本小题满分14分）
设函数
．
（1）求的极值点；
（2）对任意的
，以
记在
上的最小值，求
的最小值．
绝密★启用前 试卷类型：A
珠海市2009年高三年级第二次调研考试
高三理科数学评分标准
2009.5
一、选择题：（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.D 2.C 3.A 4.A 5.C 6.D 7.B 8.C
二、填空题：（共6小题，每小题5分，满分30分）
9. 
10.
11． 2 12. 72
13.（坐标系与参数方程选做题） 
14. （几何证明选讲选做题） 4π
15. （不等式选讲选做题） 
三、解答题：
16．（本小题满分12分）
解：（1）设事件A表示“在三局比赛中甲胜前两局、乙胜第三局”，则： 
……………………………….……4分
（2）法1：由题意知：
的可能取值为0，1，2，3。……………………………5分
…..…..9分
ξ
0
1
2
3
p
则ξ的分布列为：
…………………10分
则Eξ=
………………………………12分
法2：由题意知：
，则：
，
ξ
0
1
2
3
p
则ξ的分布列为：
…………………10分
则Eξ=
………………………………………………….………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
…………………………………………1分
依题意 
…………………………………………2分
又 
…………………………………………4分
…………………………………………5分
令 x=0,得 
………………………7分
所以， 函数的解析式为
……………………………8分
（还有其它的正确形式，如：
等）
（Ⅱ）当
，
时
单增 ……10分
即
，
…………………………………………11分
∴的增区间是
………………………………………12分
（注意其它正确形式，如：区间左右两端取开、闭，
等）
18.（本小题满分14分）
（1）证明：直三棱柱ABC－A1B
BC=4，AB=5，
∴ AC⊥BC，
…………………………………………………………………2分
又 AC⊥
C，
∴ AC⊥平面BCC1； ………………………………………………………………4分
∴ AC⊥BC1 ………………………………………………………………5分
（2）
-
=20…8分
（3）解法一：取
中点，过
作
于
，连接
。 …………………………………………9分
是
中点，
∴
∴
平面
，
∴
∴
∴
平面
…………………………………………………10分
∴
∴
是二面角
的平面角…………………………………………12分
AC＝3，BC＝4，AA1＝4，
∴
，
∴
…………………………………………13分
∴二面角的正切值为
…………………………………………14分
解法二：以
分别为
轴建立如图所示空间直角坐标系，…………………………………………9分
AC＝3，BC＝4，AA1＝4，
∴
，
，
，
∴
，
平面
的法向量
， …………………………………………10分
设平面
的法向量
，
则
，
的夹角的补角的大小就是二面角的大小……………………11分
则由
解得
……………………………………………12分
，则
……………13分
∴二面角的正切值为 …………………………………………14分
19.（本小题满分14分）
解：（1）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c,则有
,
由椭圆定义，有
………1分
＝
……………………………2分
＝
……………………3分
≥
…………………………………………5分
＝
＝
……………………………………………6分
∴的最小值为。（当且仅当
时，即取椭圆上下顶点时，取得最小值 ）………………………………………7分
（2）设的斜率为
，
则
，
…………………………………………8分
…………………………………………9分
∴
＝
及
…………………………………………10分
则＝
＝ 又
…………………………………………12分
∴
…………………………………………13分
故斜率的取值范围为（
） …………………………………………14分
20.（本小题满分14分）
解：（1）
，……………………1分
即
，
即
，
， …………………………………………2分
∴
为等差数列，
…………………………………………3分
又
，
…………………………………………4分
∴
，
…………………………………………5分
∴
…………………………………………7分
（2）
…………………………………………8分
当
时，
…………………………………………11分
，
…………………………………………13分
的整数部分为18。 …………………………………………14分
21.（本小题满分14分）
解：（1）
………（1分）
由
解得：
………（2分）
当
或
时，
………（3分）
当
时，
………（4分）
所以，有两个极值点：
是极大值点，
； ………（5分）
是极小值点，
。 ………（6分）
(2) 过点
做直线
，与
的图象的另一个交点为A
，则
,即
………（8分）
已知有解
，则
解得
………（10分）
当
时，
；
………（11分）
当
时，
，
，
其中当
时，
；………（12分）
当
时，
。………（13分）
所以，对任意的，
的最小值为
（其中当时，） ………（14分）
（以上答案和评分标准仅供参考，其它答案，请参照给分）
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