2009年云南省曲靖一中高考冲刺卷文科数学（一）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
总分
分数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合
则
（
等于
A．
B．
C．{0}
D．
2．若
是第二象限的角，则
A．7
B．
D．
3．若
，则
A．
B．
C．
D．
4．过点（-1，1）和（0，3）的直线在
轴上的截距为
A．
B．
C．3
D．-3
5．二面角
为60°，A、B是棱
上的两点，
分别在平面
内，
则
的长为
A．2
B．
C．
D．
6．如果
那么，
等于
A．2
B．
7．设数列
是公差不为零的等差数列，它的前
项和为
，且
成等比数列，则
等于
A．2
B．
8．已知点
和圆
上一动点
，动点
满足
，则点的轨迹方程是
A．
B．
C．
D．
9．长方体
的所有顶点在同一个球面上，且
，则顶点
间的球而距离是
A ．
B．
C．
D．
10．若
，则
与
的大小关系是
A．
B．
C．
D．与的取值有关
11．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品数之和是
A．4 B．
12．已知二次函数
的导函数为
，对任意实数，都有
则
的最小值为
A．2
B．
C．3
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
13．已知实数
满足
，如果目标函数
的最小值为-1，则实数
=____。
14．已知
的面积为
，
，且
，则
_______。
15．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过右焦点
的直线交双曲线的右支于
两点若
，则
的周长为_____________。
16．设函数
的图象为
，有下列四个命题：
①图象关于直线
对称：②图象的一个对称中心是
；③函数
在区间
上是增函数；④图象可由
的图象左平移
得到。其中真命题的序号是_______________。
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知函数
在区间
上单调递增。
（1）求数
的取值范围；
（2）设向量
当
时，求不等式
的解集。
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，侧面
是边长为2的正三角形，且于底面
垂直，底面是面积
的菱形，
为锐角，为
的中点。
（1）求证
；
（2）求二面角
的大小；
（3）求到平面
的距离
19．（本小题满分12分）经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：
排队人数
0～5
6～10
11～15
16～20
21～25
25以上
概率
0.1
0.15
0.25
0.25
0.2
0.05
求：（1）每天不超过20人排队结算的概率是多少？
（2）一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口？
20．（本小题满分12分）在数列中，
。
（1）设
，证明：数列
是等差数列；
（2）求数列的前项和
21．（本小题满分12分）设函数
，若曲线
的斜率最小的切线与直线
平行，求：
（1）的值
（2）函数的单调区间
22．（本小题满分12分）如图，已知
，是圆
（为圆心）上一动点，线段
的垂直平分线交
于
点，
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若直线
与曲线相交于
，
两点，求
面积的最大值。
2009年曲靖一中高考冲刺卷文科数学（一）
1．B 2．C 3．A 4．A 5．A 6．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．A
【解析】
1．依题意得
，所以
故
且
），因此选
2．依题意得
又
在第二象限，所以
，
，故选C。
3．
且
4．过（-1，1）和（0，3）的直线方程为
，令
，可得在
轴的截距为
，故选A
5．如图。
故选A
6．设
则
故选D
7．设等差数列
的首项为
，公差
，因为
成等比数列，所以
，即
，解得
，故选D
8．由
，所以
分
之比为2，设
（
，
则
，又点
在圆
上，所以
，即
+
-4，化简得
=16，故选C
9．长方体的中心即为球心，设球半径为
，则
于是
两点的球面距离为
故选B
10．画出
和
在
内的图象如图
已知
，且两函数在
上均为增函数，因此，两曲线在内有一交点，故
与
的大小关系与的取值有关，故选D。
11．
。而样本总容量为20。
所以植物油类食品应抽取样本数为
，果蔬类食品应抽取样本数为
，故，植物油类与果蔬类食品抽取的样本数之和为2+4=6，故应选C。
12．
又因为对任意实数，都有
即
，
当且仅当
即
时，上述等号成立，即当
对，
有最小值2，故选A。
二、填空题
13．5．线性规划问题先作出可行域，注意本题已知最优的待定参数的特点，可考虑特殊的交点，再验证由题设可知
，应用运动变化的观点验证满足
为所求。
14．7．由题意得
又
因此A是钝角，
15．22，连接
，
的周章为
16．当
时，
，取到最小值，因次，
是对称轴：②当
时，
因此
不是对称中心；③由
可得
故
在
上不是增函数；④把函数
的图象向左平移
得到
的图象，得不到的图象，故真命题序号是①。
三、解答题
17．（1）
在
上单调递增，
在上恒成立，即
在上恒成立，
即实数的取值范围
（2）
由题设条件知在
上单调递增。
由
得
，即
即的解集为
又
的解集为
18．（1）过
作
子
连接
侧面
。
故
是边长为2的等边三角形。又
点，
又
是
在底面
上的射影，
（法一）（2）
就是二面角
的平面角，
和
都是边长为2的正三角形，
又
即二面角的大小为45°
（3）取的中点为
连接
又
为
的中点，
，又
，且
在平面
上，又
为的中点，
又
线段
的长就是到平面
的距离在等腰直角三角形
中，
，
，
，即到平面的距离是
（法二）（2）
，以
为轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系，则点
设平面
的法向量为
，则
，解得
，
取
则
，平面的法向量
向量
所成角为45°故二面角的大小为45°，
（3）由
，
的中点
设平面的法向量为
，则
，解得
则
故到平面的距离为
19．（1）每天不超过20人排队结算的概率为：
（2）每天超过15分排队结算的概率为，
一周7天中，没有出现超过15分排队结算的概率为
一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为
一周7天中，有两天出现超过15人排队结算的概率为
一周7天中，有3天以上（含3天）出现超过15人跑队结算的概率为；
所以，该商场需要增加结算窗口。
20．（1）由已知
得
又
因此
是首项为1，公差为1的等差数列
（2）由（1）得
①式两边同乘以3，得
②
①式-③式得，
21．（1）
即当
时
取得最小值
因斜率最小的切线与
平行，即读切线的斜率为-12，所以
，即
，由题设条件知
（2）由（1）知
，因此
令
，解得
当
时，
故在
上为增函数。当
时，
故
在
上为减函数。
当
时，
，故在
上为增函数。
由此可见，函数的单调递增区间为（
）和，单调递减区间为。
22．（1）连接
，由题意知：
圆
为圆
的半径，
又
点
在
为焦点的椭圆上，即
点的轨迹方程为
（2）由
， 消去得1
由
得
设
则
，有
设点
到直线
的距离为
，则
当
，即
时，等号成立。
面积的最大值为3
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