2009年云南省曲靖一中高考冲刺卷文科数学
（五）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，则
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
是定义在
上的奇函，当
时，
，那么
的值
为
A．2 B．
C．0 D．
3．函数
在
上恒有
，则实数
的取值范围是
A．（1，2） B．
C．
D．
4．已知直线
与椭圆
总有交点，则m的取值范围为
A．（1，2] B．[1，2）
C．
D．
5．从5名羽毛球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙之前出场的概率为
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则
A．1 B．
C．
D．2
7．已知
的展开式前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的个数是
A．1 B．
有关
8．使函数
是奇函数，且在
上是减函数的
的
一个值是
A．
B．
C．
D．
9．已知
表示的平面区域包含点（0，0）和（，1），则
的取值范围是
A．（
，6） B．（0，6） C．（0，3） D．（，3）
10．椭圆
的左准线为
，左、右焦点分别为
、
，抛物线
的准线为，
焦点是，与
的一个交点为
，则
的值等于
A．
B．
C．4 D．8
11．一副扑克牌去掉两张王后还有52张，将牌发给4个人，每人13张，则某人获得的13
张牌中花色齐全的全部情况数为
A．
B．
C．
D．
12．如图甲所示，四边形
中，
，将
沿
折起，使平面
平面
，构成三棱锥
，如图乙所示，则二面角
的正切值为
A． B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．不等式
的解集是
．
14．已知过球面上
、
、
三点的截面和球心的距离是球直径的
，且
，
则球面的面积为
．
15．设直线
与圆
的交点为
，当
、
取最小值
时，实数的值为
．
16．给出下面四个命题，其中正确命题的序号是
（填出所有正确命题的序号）．
① 若
，则
；
② 函数
的值域为；
③ 数列
一定为等比数列；
④ 两个非零向量
，若
，则
．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在
中，、
、
分别是角、、的对边，且
、
、
，若
，试判断三角形的形状．
18．（本小题满分12分）
某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为
，寿命为2年以上的概率为
，从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．
（1）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（2）第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（3）当
时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）
19．（本小题满分12分）
已知函数
图象上的点
处的切线方程为
．
（1）若函数在
时有极值，求的表达式；
（2）函数在区间
上单调递增，求实数的取值范围．
20．（本小题满分12分）
如图所示，已知正四棱柱
的底面边长为1，点
在棱
上，
平面
，截面的面积为
．
（1）求
与底面所成角的大小；
（2）若
与的交点为
，点
在
上，且
，求
的长．
21．（本小题满分12分）
如图所示，已知椭圆的方程为
，点
的坐标满足
．过点的直线椭圆交于、两点，点
为线段
的中点．求：
（1）点的轨迹方程；
（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．
22．（本小题满分12分）
已知数列
的前项和
（1）用、
表示
；
（2）数列
对任意正整数，均有
，求证：数列为等差数列；
（3）在（1）、（2）中，设
，求证：
．
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B 
11．C 12．D
【解析】
3．当
时，函数
在
上，
恒成立即
在上恒成立，可得
当
时，函数在上，恒成立
即
在上恒成立
可得
，对于任意
恒成立
所以
，综上得
．
4．解法一：联立
，得
．
方程总有解，需
恒成立
即
恒成立，得
恒成立
；又
的取值范围为
．
解法二：数形结合，因为直线
恒过定点（0，1），要使直线与椭圆
总有交点当日仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内，即
又
的取值范围为．
5．
7．展开式前三项的系数满足
可解得
，或
（舍去）．从而可知有理项为
，故C正确．
8．
，欲使
为奇函数，须使
，观察可知，
、
不符合要求，若
，则
，其在
上是减函数，故B正确
当
时，
，其在上是增函数，不符合要求．
9．
等价于
画图可知
，故
．
10．如图乙所示．设
，点
到直线
的距离为
，则由抛物线定义得
，
又由点在椭圆上，及椭圆第一定义得
由椭圆第二定义得
，解之得
．
11．从52张牌中任意取13张牌的全部取法为
；缺少某一种花色的取法为
，缺少两种花色的取法为
，缺少三种花色的取法为
，根据容斥原理可知四种花色齐全的取法为
．
12．设
中点为
，连
．由已知得
平面
，作
，交
的延长线于点
，连
．则
为所求，设
，则
，在
中可求出
，则
．
二、填空题
13．
．
提示：可以用换元法，原不等式为
也可以用数形结合法．
令
，在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象，由图直观得解集．
14．12
．提示：经判断，
为截面团的直径，再由巳知可求出球的半径为
．
15．
．提示：由于
得
解得
，又
所以，当
时，
取得最小值．
16．①②④
三、解答题
17．懈：
，由正弦定理得，
又
，
，化简得
为等边三角形．
说明；本题是向量和三角相结合的题目，既考查了向量的基本知识，又考查了三角的有关知识，三角形的形状既可由角确定。也可由边确定，因此既可从角入手，把边化为角；也可从边入手，把角化为边来判断三角形的形状．
18．解：（1）在第一次更换灯泡工作中，不需要更换灯泡的概率为
需要更换2只灯泡的概率为
．
（2）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为
，在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为
，故所求的概率为
．
（3）当
时，
由（2）知第二次灯泡更换工作中，某盏灯更换的概率
故至少换4只灯泡的概率为
19．解：
]
因为函数在
处的切线斜率为
所以
即
①
又
得
②
（1）函数在
时有极值
③
解式①②③得
所以
．
（2）因为函数在区间
上单调递增，所以导函数
在区间的值恒大于或等于零．
则
得
，所以实数
的取值范围为
．
20．解：（1）连接
因为
平面
，平面
平面
所以
；又
为
的中点，故为
的中点
底面
为
与底面所成的角
在
中，
所以与底面所成的角为45°．
（2）解法一；如图建立直角坐标系
则
， 
设
点的坐标为
故
点的坐标为
故
．
解法二：
平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）设点、
的坐标分别为
、
，点
的坐标为
当
时，设直线的斜率为
直线过点
的方程为
又已知
①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+式④得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得点的坐标满足方程
⑦
当
时，不存在，此时平行于
轴，因此的中点一定落在
轴上，即的坐标为
,显然点（
，0）满足方程⑦
综上，点的坐标满足方程
设方程⑦所表示的曲线为
则由
,
得
因为
，又已知
，
所以当
时．
，曲线与椭圆有且只有一个交点，
当
时，
，曲线与椭圆没有交点，因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内，故点的轨迹方程为
（2）由
解得曲线与轴交于点（0，0），（0，）
由
解得曲线与轴交于点（0，0）．（，0）
当
，即点为原点时，（，0）、（0，）与（0．0）重合，曲线与坐标轴只有一个交点（0，0）．
当
，且
，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点（0，）与（0，0），同理，当
且
时，曲线与坐标轴有两个交点（，o）、（0，0）．
当，且时，即点不在椭圆且不在坐标轴上时，曲线与坐标轴有三个交点（，0）、（0，）与（0，0）．
22．（1）解：
，又
是以首项为
，公比为
的等比数列．
．
（2）证明：设数列
的公比为
，则条件等式可化为：
数列
为等差数列，
（3）证明：由题意知
①
式①
得
②
式①-式②得
．
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