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    2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

    数学（文史类）

     

    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

    1．直线关于x轴对称的直线方程为                                                            （    ）

           A．          B．             C．            D．

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    2．已知                                                              （    ）

           A．                    B．－                C．                    D．－

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    3．抛物线的准线方程是，则a的值为                                              （    ）

           A．                      B．－                   C．8                        D．－8

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    4．等差数列{a n}中，已知                               （    ）

           A．48                      B．49                      C．50                      D．51

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    5．双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠ F1MF2=120°则双曲线的离心率为

                                                                                                                                  （    ）

           A．                    B．                   C．                   D．

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    6．设函数的取值范围是                           （    ）

           A．（－1，1）                                         B．（―1，+∞）

           C．（－∞，－2）∪（0，+∞）               D．（－∞，－1）∪（1，+∞）

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    7．已知                                                                              （    ）

           A．                   B．                 C．                 D．

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    8．函数上的偶函数，则=                                    （    ）

           A．0                        B．                      C．                     D．

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    9．已知点的距离为1，则a=                          （    ）

           A．                   B．－                C．               D．

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    10．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，它的内接圆柱的底面半径为R，该圆柱的全面积为                         （    ）

           A．                B．                C．                D．

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    11．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.若P4与P0重合，则tgθ=                                （    ）

           A．                      B．                      C．                      D．1

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    12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （    ）

           A．                    B．4                    C．                D．

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    二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

    13．不等式的解集是        .

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    14．的系数是         .

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    15．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2”

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    16．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地

    图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，

    现有4种颜色可供选择，则不同的着色方

    法共有        种.（以数字作答）

     

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    三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    17．（本小题满分12分）

           （I）证明EF为BD1与CC1的公垂线；

           （II）求点D1到面BDE的距离.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    18．（本小题满分12分）

           已知复数z的辐角为60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中项，求|z|.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    19．（本小题满分12分）

           已知数列||满足

           （I）求

           （II）证明

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    20．（本小题满分12分）

           已知函数.

           （I）函数数的最小正周期和最大值;

           （II）在给出的直角坐标系中，画出函数上的图象.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    21．（本小题满分12分）

           在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南       

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    22．（本小题满分14分）

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    一、

    1．C  2．D  3．B  4．C  5．B  6．D  7．D  8．C  9．C  10．B  11．C  12．A

    二、13．   14．  15．  16．72

    三、

    17．（I）证明：取BD中点M，连结MC，FM，

            ∵F为BD1中点， ∴FM∥D1D且FM=D1D

    又EC=CC1，且EC⊥MC，

    ∴四边形EFMC是矩形  ∴EF⊥CC1  

    又CM⊥面DBD1  ∴EF⊥面DBD1

    ∵BD1面DBD1，

    ∴EF⊥BD1  故EF为BD1与CC1的公垂线

    （II）解：连结ED1，有V

    由（I）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d，

    则S△DBC?d=S△DCD?EF.

    ∵AA1=2?AB=1.

    故点D1到平面BDE的距离为.

    18．解：设z=

            由题设

           即 

        （舍去）

     

           即|z|=

    19．（I）解∵

    （II）证明：由已知

         

             =

               所以

    20．解（I）

                   

           所以函数的最小正周期为π，最大值为.

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知

    1

    1

    1

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    21．解：如图建立坐标系：以O为原点，正东方向为x轴正向.

            在时刻：t（h）台风中心的坐标为

            此时台风侵袭的区域是，

            其中t+60，

            若在t时，该城市O受到台风的侵袭，则有

    即

    即，   解得.

    答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭

    22．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得

    点P到定点距离的和为定值.

    按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）

    设，

    由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.

    直线OF的方程为：，        ①

    直线GE的方程为：.　　②

    从①，②消去参数k，得点P（x，y）坐标满足方程，

    整理得.

    当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

    当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.

    当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.

    当时，点P到椭圆两个焦点的距离之

    和为定值.

     

     

     

     


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