北京市朝阳区2005-2006学年综合练习（三）
高三数学综合练习(文科)
(考试时间120分钟, 满分150分)
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数
第Ⅰ卷 (选择题共40分)
参考公式：
如果事件A、B互斥,那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互独立,那么 其中R表示球的半径
P(A?B)=P(A)?P(B)
如果事件A在一次试验中发生的 球的体积公式
概率是P,那么n次独立重复试验
V = 
πR3
中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
.
得分
评卷人
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的
4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩(CUN)
（A）{5} （B） {0，3}
（C）{0，2，3，5} （D） {0，1，3，4，5}
(2) 已知直线
及平面
，下列命题中的假命题是
（A）若
，
，则
. （B）若
，
，则
.
（C）若
，，则. （D）若
，，则.
(3) .已知向量a＝(－1，
)，向量b＝(，－1)，则a与b的夹角等于
(A)
(B)
(C)
π (D)
π
(4) 给定性质：①最小正周期为
，②图象关于直线
对称，则下列函数中同时具有性质①、②的是
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(5) 函数
的图象如右图所示，则的导函数
的图象可以是
(6) 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
（A）140种 （B）120种 （C）35种 （D）34种
(7) 以椭圆
的右焦点为圆心，且与双曲线
的渐近线相切的圆的方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
(8) 已知函数y=f (x)（0≤x≤1）的图象是如图所示的一段圆弧，若
，则
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
与
的大小关系不确定
第II卷（非选择题 共110分）
得分
评卷人
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中
(11)点M (1，2) 到圆A：
的圆心距离是
，过点M的直线
将圆A分成两段弧，其中劣弧最短时，
的方程为
.
(12) 已知数列
的前
项和
满足
，则其通项
= .
(13)已知二项式
展开式的首项与末项之和为零，那么x等于
．
(14)设地球的半径为R，P和Q是地球上两地，P在北纬45o，东经20o，Q在北纬
45o，东经110o，则P、Q 两地的直线距离是 ，两地的球面距离为 ．
得分
评卷人
(15)（本小题满分13分）
某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛.
求：
（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生的概率；
（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率.
得分
评卷人
(16)（本小题满分13分）
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
在
中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
，
.
（Ⅰ）求cosC，
的值；
（Ⅱ）若
，求边AC的长.
得分
评卷人
(17)（本小题满分13分）
{an}是公差为1的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，Pn，Qn分别是{an}，{bn}的前n项和，且a6=b3, P10=Q4+45.
（I）求{an}的通项公式；
（II）若Pn> b6，求n的取值范围.
得分
评卷人
(18)（本小题满分13分）
已知：在正三棱柱ABC―A1B
（Ⅰ）求异面直线AD与A
（Ⅱ）求二面角D-AC-B的大小；
（Ⅲ）求证：ED⊥平面ACC
得分
评卷人
(19)（本小题满分14分）
设函数
.
（Ⅰ）求
的导函数
，并证明有两个不同的极值点x1、x2；
（Ⅱ）若对于（Ⅰ）中的x1、x2，不等式
成立，求a的取值范围.
得分
评卷人
(20)（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，右焦点为F (c，0)的椭圆C：
+
=1 (a>b>0) 经过点
B(0，-1)，向量
= (λ-c，λ) (λ∈R)，且||的最小值为1.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若以m = (1，k) (k≠0) 为方向向量的直线l与曲线C相交于M、N两点，使
|
|=|
|，且与的夹角为60°，试求出k值及直线l的方程.
一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）D （3）C （4）B
（5）D （6）D （7）A （8）C
二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）(1，-1) （10）｛y|
y>1｝， y = 2x-1 （x>1） （11）
，
（12）
（13） 2 （14）R， 
R
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15. 解（Ⅰ）恰有一名男生的概率为
. ……………………………3分
（Ⅱ）至少有一名男生的概率为
. …………………………8分
（Ⅲ）至多有一名男生的概率为. …………………………13分
16. 解：（Ⅰ）
. ……………………………3分
又
，cosC=
>0，
故在
中，
、
是锐角. ∴
，
.
∴
. ……………………7分
（Ⅱ） 
.
……………………10分
由正弦定理 
. 解得
，c=6.
∴
. ∴
，即AC=5 . ……………………13分
17. 解：（I）依条件得
， …………………2分
解得
.
…………………………………………4分
所以an=3+(n-1)=n+2. …………………………………………6分
（II）Pn=
， b6=2×26-1=64，
由
>64得n2+5n-128>0.
………………………………9分
所以n(n+5)>128.因为n是正整数，且n=9时，n(n+5)=126，
所以当n≥10时，n(n+5)>128. 即n≥10时，Pn> b6. ……………………………13分
18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A
∴∠CAD是异面直线AD与A
连结CD，易知AD=CD=
a，AC= a， 在△ACD中易求出cos∠CAD=
.
因此异面直线AD与A. …………………………4分
（Ⅱ）解：设AC中点为G，连结GB，GD，
∵△ABC是等边三角形， ∴GB⊥AC.
又DB⊥面ABC， ∴GD⊥AC.
∴∠DGB是所求二面角的平面角. …………………6分
依条件可求出GB=
a.
∴tan∠DGB=
=
.
∴∠DGB=arctan.
……………………………………………8分
（Ⅲ）证明：
∵D是B1B的中点，∴△C1B1D≌△ABD. ∴AD= C1D. 于是△ADC1是等腰三角形.
∵E是AC1的中点， ∴DE⊥AC1. ………………………………………………10分
∵G是AC的中点，∴EG∥C
C
∴四边形EGBD是平行四边形. ∴ED∥GB.
∵G是AC的中点，且AB=BC，∴GB⊥AC. ∴ED⊥AC.
∵AC∩AC1=A，
∴ED⊥平面ACC
（或证ED∥GB，GB⊥平面ACC
19. 解：（Ⅰ）∵
，
∴
.
……………………………………3分
令
得，
=0
.
，
∴
方程有两个不同的实根
、
.
令
，由
可知：
当
时，
；
当
；
当
；
∴是极大值点，是极小值点. ……………………………………7分
（Ⅱ）
，
所以得不等式
.
即
. ………10分
又由（Ⅰ）知
，
代入前面的不等式，两边除以（1+a），
并化简得
，解之得：
，或
（舍去）.
所以当时，不等式
成立.
…………………………14分
20. 解：(Ⅰ)∵
∴
.
………………………………………………2分
又椭圆C经过点B(0，-1)，解得b2=1.
所以a2=2+1=3. 故椭圆C的方程为
. ……………………………4分
（Ⅱ）设l的方程为:y= kx+m，M(x1，y1)、N(x2，y2)，
.
则x1+x2= -
. ………………6分
Δ=36 k
设线段MN的中点G(x0，y0)，
x0=
，
线段MN的垂直平分线的方程为：y -
.…………………8分
∵|
， ∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点.
∴-1-
. ∴m=
. ②
②代入①，得3k2 -(
. ③
∵|
的夹角为60°，∴△BMN为等边三角形.
∴点B到直线MN的距离d=
.
……………………………10分
∵
,
又∵|MN|=
=
=
,
∴
.
……………………………12分
解得k2=
，满足③式. 代入②，得m=
.
直线l的方程为：y=
.
……………………………14分
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