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    北京市朝阳区2005-2006学年综合练习（三）

    高三数学综合练习(理科)

              

    (考试时间120分钟, 满分150分)

    题号

    一

    二

    三

    总分

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    分数

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    第Ⅰ卷 (选择题共40分)

    参考公式：

    如果事件A、B互斥,那么                      球的表面积公式

    P(A+B)=P(A)+P(B)                          S＝4πR2

    如果事件A、B相互独立,那么                  其中R表示球的半径

    P(A?B)=P(A)?P(B)                         

     如果事件A在一次试验中发生的               球的体积公式

     概率是P,那么n次独立重复试验                 V = πR3

    中恰好发生k次的概率                        其中R表示球的半径

    .

     

    得分

    评卷人

     

     

     

    一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的

    4个选项中,只有一项是符合题目要求的.

     

    (1) 若复数z满足z(1-2i)=3+4i，则z等于

    （A）-1+2i                              （B）2+4i 

    （C）2+i                                （D）-1+4i

     (2) 已知直线及平面，下列命题中的假命题是

         （A）若，，则        （B）若，，则

         （C）若，，则       （D）若，，则

    (3) 给定性质：①最小正周期为，②图象关于直线对称，则下列函数中同时具有性质①、②的是

           (A)                      (B)  

     (C)                           (D)  

     

     

     

     

     

     

    (4) 设函数f(x)在定义域内可导，y= f(x)的图象如右图所示，

    则导函数y= f′(x)的图象可能为

     

     

     

     

     

     

     

    (5) 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有

    （A）140种        （B）120种          （C）35种         （D）34种

    (6) 以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是

    （A）                 （B）

    （C）                 （D）

    (7) 已知O、A、M、B为平面上四点，且，，则

    (A) 点M在线段AB上　　　　　    　　(B) 点B在线段AM上

    (C) 点A在线段BM上　　　　　　    　(D) O、A、M、B四点一定共线

    (8) 已知函数y=f (x)（0≤x≤1）的图象是如图所示的一段圆弧，

    若，则                     （      ）

    （A）      （B）

    （C）       （D）与的大小关系不确定

    第II卷（非选择题  共110分）

     

    得分

    评卷人

     

     

    二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中

    (10)点M (1，2) 到圆A：的圆心距离是      ，过点M的直线将圆A分成两段弧，其中劣弧最短时，的方程为                  .

    试题详情

    (11)已知二项式展开式的第4项与第5项之和为零，那么x等于        ．

    (12)设地球的半径为R，P和Q是地球上两地，P在北纬45o，东经20o，Q在北纬45o，

    东经110o，则P、Q 两地的直线距离是       ，两地的球面距离是            ．

    试题详情

    (13)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x，则的值为       .

    试题详情

    (14)在等比数列中，若，则有等式，

    试题详情

    成立. 类比上述性质，相应的在等差数列中，若，则有等式            

                                                                   成立.

     

    得分

    评卷人

     

     

     

     

     

    (15)（本小题满分13分）

     

    试题详情

    三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    在中 ，a、b、c分别是角A、B、C的对边，，.

    试题详情

    （Ⅰ）求cosC，的值；    

    试题详情

    （Ⅱ）若，求边AC的长.

     

     

     

     

     

     

     

     

    得分

    评卷人

     

     

     

    (16)（本小题满分13分）

     

    试题详情

    {an}是公差为1的等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，Pn，Qn分别是{an}，{bn}的前n项和，且a6=b3, P10=Q4+45.

      （I）求{an}的通项公式；

      （II）若Pn> b6，求n的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    得分

    评卷人

     

     

     

    (17)（本小题满分13分）

     

    甲、乙两人参加一项智力测试.已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题. 规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过.

    试题详情

    （I）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；

    （II）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    得分

    评卷人

     

     

     

    (18)（本小题满分13分）

      

       已知：在正三棱柱ABC―A1B1C1中，AB = a，AA1 = 2a ， D、E分别是侧棱BB1和AC1的中点.

    试题详情

    （Ⅰ）求异面直线AD与A1C1所成角的余弦值；

    （Ⅱ）求证：ED⊥平面ACC1A1；

    （Ⅲ）求平面ADC1与平面ABC所成二面角的大小.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    得分

    评卷人

     

     

     

    (19)（本小题满分14分）

     

    试题详情

    设函数.

    试题详情

    （Ⅰ）求的导函数，并证明有两个不同的极值点x1、x2；

    试题详情

    （Ⅱ）若对于（Ⅰ）中的x1、x2，不等式 成立，求a的取值范围.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    得分

    评卷人

     

     

     

    (20)（本小题满分14分）

     

    试题详情

        在平面直角坐标系中，已知向量，

    试题详情

    |(a为常数，且a>c，t∈R). 动点P同时满足下列三个条件：（1）；  ； (3) 动点P的轨迹C经过点B(0，-1).

    （Ⅰ）求曲线C的方程；

    （Ⅱ）是否存在方向向量为m = (1，k) (k ≠ 0) 的直线l，l与曲线C相交于M、N两点，

    试题详情

    使|60°？若存在，求出k值，并写出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    试题详情

    一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

                                                                    

    （1）A            （2）D            （3） B           （4） D

    （5）D            （6）A            （7） B           （8） C

     

    二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

       （9） (1，-1)     （10），   （11） 2     （12）R ，R

    （13） 2          （14） 

    三.解答题（本大题共6小题，共80分）

    15. 解：（Ⅰ）.      ………………………………3分

    又，cosC=>0，

    故在中，、是锐角.  ∴，.

    ∴.    ……………………7分

    （Ⅱ） .           ……………………10分

    由正弦定理 .      解得，c=6.

    ∴.     ∴，即AC=5 .     ……………………13分

     

    16. 解：（I）依条件得 ，     ……………………2分

    解得.                       …………………………………………4分

    所以an=3+(n-1)=n+2.                 …………………………………………6分

      （II）Pn=， b6=2×26-1=64，

         由>64得n2+5n-128>0.                 ………………………………9分

    所以n(n+5)>128.

    因为n是正整数，且n=9时，n(n+5)=126，且n(n+5)是递增的，

    所以当n≥10时，n(n+5)>128.

    即n≥10时，Pn> b6.           …………………………………………………13分

     

     

    17. 解：（I）甲答对试题数的可能取值为0、1、2、3.

    ∵，，

    ，，      …………………………4分

    ∴ 甲答对试题数的概率分布如下：

    0

    1

    2

    3

    P

    故甲答对试题数的数学期望为

    .            …………………………7分

    （II）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A、B，则

    ，

    .              …………………………………………9分

    、B相互独立，

    ∵甲、乙两人都未通过测试的概率为

    .    ……………………………11分

    ∴甲、乙两人至少有一个通过测试的概率为

    .          ………………………………………13分

     

    18. （Ⅰ）解：∵正三棱柱中AC∥A1C1，

    ∴∠CAD是异面直线AD与A1C1所成的角.             …………………………2分

     连结CD，易知AD=CD=a，AC= a，

    在△ACD中易求出cos∠CAD=.

    因此异面直线AD与A1C1所成的角的余弦值为.      …………………………4分

    （Ⅱ）证明：

    ∵D是B1B的中点，

    ∴△C1B1D≌△ABD.

    ∴AD= C1D.

    于是△ADC1是等腰三角形.

    ∵E是AC1的中点，

    ∴DE⊥AC1.    ……………………6分

    设AC的中点为G，

    ∴EG∥C1C∥DB，EG=C1C= DB.

    ∴四边形EGBD是平行四边形.

    ∴ED∥GB.

    ∵G是AC的中点，且AB=BC，

    ∴GB⊥AC.

    ∴ED⊥AC.

    ∵AC∩AC1=A，

    ∴ED⊥平面ACC1A1.           …………………………………………………8分

    （或证ED∥GB，GB⊥平面ACC1A1得到ED⊥平面ACC1A1.）

     

    （Ⅲ）解：∵C1D，CB共面，

    故C1D，CB必相交，设交点为F，连结AF.

    ∴平面ADC1与平面ABC所成二面角是C-AF-C1.      ………………………………10分

    ∵DB=C1C ，DB∥C1C，

    ∴B是CF的中点.

    ∴AC=CB=BF= a.

    在△ACF中，由余弦定理可求出AF=a.

    ∴易判断出△ACF是直角三角形，即AC⊥AF.

    ∵C1C⊥面ACF ，

    ∴AC1⊥AF.

    ∴∠C1AC是所求二面角的平面角.           …………………………………………12分

    ∵tan∠C1AC==2，

    ∴平面ADC1与平面ABC所成二面角的大小是arctan2（或arccos）. …………13分

     

    19. 解：（Ⅰ）∵，

    ∴.                   ……………………………………3分

    令得，=0.

    ，

    ∴方程有两个不同的实根、.

    令，由可知：

    当时，；

    当；

    当；

    ∴是极大值点，是极小值点.             ……………………………………7分

    （Ⅱ），

    所以得不等式.

    即.  ………10分

    又由（Ⅰ）知，

    代入前面的不等式，两边除以（1+a），

    并化简得，解之得：，或（舍去）.

    所以当时，不等式成立.           …………………………14分

     

    20. 解：(Ⅰ)∵|

    ∴.           …………………………………………………2分

    由， .

    由（1）、（2）可知点P到直线x=，

    再由椭圆的第二定义可知，点P的轨迹C是椭圆.        …………………………4分

    设椭圆C的方程为：， 

    由（3）可知b =1，∴a2=b2+c2=1+2=3.

      ∴椭圆C的方程为: .                 …………………………………5分

    （Ⅱ）假设存在符合条件的直线l，并设l的方程为:y=kx+m，M(x1，y1)、N(x2，y2)，

         .

       则x1+x2= -.  ………………7分

       Δ=36 k2m2-12(m2-1)(1+3k2)=12[3k2-m2+1]＞0     ①

     

     设线段MN的中点G(x0，y0)，　

       x0=，

    线段MN的垂直平分线的方程为：y -.

    ∵|， ∴线段MN的垂直平分线过B（0，-1）点.

    ∴-1-.     ∴m=.      ②     ………9分

    ②代入①，得3k2 -(.   ③

    ∵|的夹角为60°，∴△BMN为等边三角形.

    ∴点B到直线MN的距离d=.                …………………………10分

    ∵,

    又∵|MN|=

    =

    =,

    ∴.              …………………………13分

    解得k2=，满足③式.  代入②，得m=.

    直线l的方程为：y=.      ……………………………………………14分


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