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    宜春市2006年高考模拟考试

    数学(理科)试卷

    一、选择题(本大题共12小题，每小题均史有唯一正确答案12×5分=60分)

    1.复Z在映射f下的象为z?i，则-1+2i的原象为

    A.2+i                       B.2-i                            C.-2+i                          D.-2-i

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    2.已知集合M不={(x，y)|y≤x},P={(x,y)|x+y≤2},S={(x,y)|y≥0},T=M∩P∩S,点E(x，y)∈T，则3y+x的最大值为

    A.充分不必要条件    B.必要非充分条件              C.充要条件                  D.非充分非必要条件

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    3.已知集合M={(x，y)|y≤x},P={(x，y)|x+y≤2},S={(x，y)|y≥0},T=M∩P∩S,点E(x,y)∈T,则3y+x的最大值为

      A.0               B.2                 C.4                 D.6

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    4.已知函数f(x)=，按向量平移此函数图象，使其比简为反比例函数的解析式，则向为

    A.(-1，1)                 B.(1，-1)                            C.(-1，-1)                    D.(1，1)

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    5.若在二项式(3x+5)10的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率为

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    A.                       B.                           C.                           D.

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    6.在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，且sinA=2sinBcosC,则△ABC的形状是

      A.不等边三角形              B.直角三角形                     C.等边三角形                     D.等腰直角三角形

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    7.F1、F2是双曲线=1的左、右焦点，P、Q为右支上两点，直线PQ过F2，且倾斜角为α，则|PF1|+|QF1|-|PQ|的值为

      A.16                         B.12                                   C.8                              D.随α的大小而变化

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    8.已知a>0，设命题P：函数f(x)=x+在区间(1，2)上单调递增，命题Q：不等式|x-1|-|x+2|<4a对任意x∈R都成立，若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数a的取值范围是

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      A.               B.                   C.0<a≤或a>1         D.0<a<或a≥1

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    9.抛物线y=x2上点A处的切线与直线3x-y+1=0的夹角45°，则点A的坐标为

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      A.(-1，1)                 B.()                     C.(1,1)                         D.(-1，1)或()

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    10.若tanx1?tanx2=1,则sinx1?sinx2最大值为

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      A.                        B.                                   C.1                              D.无最大值

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    11.已知函数f(x)在R上为偶函数，f(x+1)+f(x)=1,x∈[1,2]时，f(x)=2-x,则f(-2006)的值为

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      A.1.5                        B.0                              C.1                              D.0.5

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    12.水平桌面上放置这一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD-A1B1C1D1，其中装有V的水.

      ①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；

    ②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；

    ③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；

    ④在③中水与容器的接触面积始终不变.

      以上说法中正确的个数是为

    A.1                          B.2                              C.3                              D.4

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    二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

    13.已知函数f(x)对于任意x1、x2∈R+,恒有f(x1?x2)=f(x1)+f(x2),若f()=，则f(8)=______.

     

     

     

     

    5

     

     

     

     

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    14.已知a、b、c∈R，且三次方程x3+ax2+bx+c=0有三个实根x1、x2、x3仿照二次方程根与系数的关系，写出三次方程根与系数的关系，则x1+x2+x3、x1?x2+x2?x3+x3?x1、x1?x2?x3的值依次分别为_____.

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    15.将1、2、3……8、9这9个数字填在如图所示的3×3的

    表格中，每格填一个数，要求每一行从左到右，每一列从上到

    下都依次增大，5已定在中间位置，则不同的填法种数为________。

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    16.关于函数f(x)=  (a为常数且a>0)，下列表述正确的为________.

      (将你认为正确的都填上)

    (1)它的最小值为0；

    (2)它在每一点处都连续；

    (3)它在R上为增函数.

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    三、解答题(本大题共6小题，共74分，17-21题每题12分，22题14分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17.已知△ABC的面积S满足≤S≤3，且的夹角为x.

    (1)求x的取值范围

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    (2)已知=(cos4x，-sinx),=(1,sin3x+2cosx),f(x)= ?，求f(x)的值域.

     

     

     

     

     

     

     

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    18.某人上楼梯，每步上一阶的概率为，每步上二阶的概率为，设该人从台阶下的平台开始出发，到达第n阶的概率为Pn.

      (1)求P1，P2；

    (2)该人共走了5步，求该人这5步共上的阶数ξ的数学期望.

     

     

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    19.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底面边长均为2，且∠A1AD=∠A1AB=60°,AC与BC交于点O.

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      (1)求证：A1O⊥平面ABCD；

      (2)求BC1与底面ABCD所成的角；

    (3)求侧棱AA1和截面B1D1DB的距离.

     

     

     

     

     

     

     

     

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    20.设实数x、y同时满足条件4x2-9y2=36,且x>0,y<0.

      (1)求y=f(x)的解析式和定义域；

      (2)设y=f(x)的反函数y=f-1(x)图象上任意一点的切线的斜率为k，试求k的取值范围.

     

     

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    21.已知(n，n)(n∈R，n为变量)，的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：①，λ≠0,t∈R)；③动点P的轨迹Q经过点B(0，-1)

      (1)求c的值；

      (2)求曲线Q的方程；

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      (3)方向向量为=(1,k)(k≠0)的直线l与曲线Q交于两个不同的点M、N，，求k的取值范围.

     

     

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    22.对于数列{an}，定义其倒均数Vn=

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    (1)若数列{an} 中，Vn=求{an}的通项公式；

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    (2)已知{bn}为等比数列，且其公比为，其倒均数为Vn,是否存在正整数m,使得当n≥m(n∈N*)时，Vn<恒成立，如果存在，求m的最小值；如不存在，说明理由.

     

     

     

     

     

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    一、选择题

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    A

    A

    C

    D

    C

    C

    A

    C

    D

    B

    B

    D

    二、填空题

    13.3        14.-a、b、-c         15.18             16.(1)(2)

    三、解答题

    17.解：(1)∵夹角为x,∴cosx=6

    S=sin∠ABC=sin(π-x)=sinx                           …………2分

    ∴                                    …………4分

    x∈[0,π],∴x∈[]                                                                              …………6分

    (2)f(x)==cos4x×1+(-sinx)(sin3x+2sin2x)=cos4x-sin4x-2sinxcosx

    =(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+)                  …………9分

    ∵

    ∴f(x)∈[-]                                                                                       …………12分

    18.解：(1)从平台达到第一阶每步只能上一阶，因此概率P1=                …………2分

    从平台到达第二阶有二种走法：走两步，或一步到达，

    故概率为P2=×+                                                                      …………5分

    (2)该人走了五步，共上的阶数ξ取值为5，6，7，8，9，10

    ξ的分布列为：(6分)

    ξ

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    P

    ()5

    Eξ=5×()5+6×    …………12分

    19.(1)证：连结A1D、A1B

    由已知可得△AA1B和△A1AD为全等的正三角形.

    ∴A1B=A1D∴A1O⊥BD

    又AB=AD，BD=BD

    ∴△ABD≌△A1BD∴A1O=AO=

    又AA1=2∴A1O⊥AO

    ∴A1O⊥平面ABCD                                                                        …………4分

    (2)过C1作C1H⊥AC交AC的延长线于H，则C1H⊥平面ABCD

    连结BH，则∠C1BH为BC1与平面ABCD所成的角.

    ∵OH=A1C1=2，BO=，∴BH=

    ∴tan∠C1BH=∠C1BH=arctan                       …………8分

    ((2)也可用向量法求解)

    (3)连结OO1，易知AA1∥OO1，面AA1O1O⊥面BDD1B1

    作A1G⊥OO1，则A1G为AA1与面B1D1DB的距离.

    由(1)知A1O=AO=A1O1，A1O⊥A1O1

    ∴A1G==1                                                                             …………12分

    ((3)也可用向量法或等积法求解)

    20.(1)y2=,∵y2>0,x>0,∴x>3又y<0

      ∴y=-                                                                      …………4分

      (2)x=∴y=f-1(x)=  (x<0)                                        …………7分

      设(x0，y0)为y=f-1(x)图象上任一点.

      =

      故-                                                                                   …………12分

    21.(1)，当n=时，

    ∴c=                                                                                            …………3分

    (2)∵直线x=∴P点在以F为焦点，x=为准线的椭圆上                                                                                …………5分

    设P(x,y)则点B(0，-1)代入，解得a=

    ∴曲线方程为                                                                   …………7分

     (3)设l:y=kx+m(k≠0)与联立，消去y得：(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,

      △>0得：m2<3k2+1                                                                         …………9分

      设M(x1，y1),N(x2，y2),MN中点A(x0,y0),由，

      由韦达定理代入KBA=-，可得到m=

      ∴k2-1<0,∵k≠0,∴-1<k<0或0<k<1                                                 …………11分

      即存在k∈(-1,0)∪(0.1)使l与曲线Q交于两个不同的点M、N

      使                                                                                 …………12分

    22.(1)由于数列{an}的倒均数，Vn=

    得：                                                           …………2分

    当n≥2时，所以，又当n=1时，a1=也适合上式.

    ∴an=                                                                           …………6分

    (2)由于{bn}是公比为q=的等比数列，∴{}为公比为2的等比数列，其倒均数

    Vn=，不等式Vn<                                      …………8分

    若b1<0,则2n-1>8n，令f(x)=2x-8x-1，则f(x)=2xln2-8,当x≤3时，f(x)<0,当x>4时，f(x)>0,∴f(x)当x≥4时是增函数又f(x)=-9<0,f(6)=15>0,故当n≥6时，f(n)>0，即2n-1>8n恒成立，因此，存在正整数m，使得当n≥m,n∈N*时，Vn<恒成立，且m的最小值为6……12分

    若b1>0,则上式即为2n-1<8n,显然当n≤5时成立，而n>5时不成立，故不存在正整数m,使n≥m(n∈N*)时，Vn=成立                                                                 …………14分

     

     


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