设（i、j∈N*）是位于这个数表中从上往下数第i行、

从左往右数第j个数. 数表中第行共有个正整数.

（1）若＝2010，求i、j的值；

（2）记N*),

试比较与的大小, 并说明理由.

广东惠阳高级中学2008-2009学年度

第二学期中段考高二年级数学（理科）试题（答卷）

题号

一

二

15

16

17

18

19

20

总分

得分

一：选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

二：填空题（每小题5分，共30分）

9__________________________,  10___________________________。

11__________________________, 12___________________________。

13__________________________, 14___________________________。

三：解答题（共80分）

15(本小题满分12分)

16(本小题满分12分)

17(本小题满分14分)

18(本小题满分14分)

19(本小题满分14分)

20(本小题满分14分)

21 附加题（本小题满分10分）(本题由试验班和重点班学生完成，所得分数作为参考，不计入总分)

广东惠阳高级中学2008-2009学年度

第二学期中段考高二年级数学（理科）试题（答案）

一：选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

B

D

A

D

B

C

B

二：填空题（每小题5分，共30分）

9:   2  10:  8  11: 12:   18  13:  75 14: 1/h² =1/a² +1/b² +1/c²  

由，得．????????????????????????? 2分

所以．???????????? 6分

（2）由正弦定理得．                        8分

所以的面积．??????? 12分

16．解：（1）……………………………2分

设的增区间，

的减区间.…………………………6分

（2）令：

∴x=0和x=－2为极值点，………………………………………………8分

……………………………11分

∴m＜0…………………………………………………………12分

17.1)证明：连结，则//，   …………1分

∵是正方形，∴．∵面，∴．

又，∴面．    ………………3分

∵面，∴，

∴．  …………………………………………4分

2）证明：作的中点F，连结．

∵是的中点，∴，

∴四边形是平行四边形，∴ ． ………6分

∵是的中点，∴，

又，∴．

∴四边形是平行四边形，//，

∵，，

∴平面面．  …………………………………8分

又平面，∴面．  ………………9分

（3）．　……………………………10分

．  ……………………………14分

18.解: （1）∵  ，…………………………………… 2分

 ∴  过点的切线方程为

 即切线方程为：……………………4分

令，得，

即点的坐标为……………………6分

（2），

 ∴  …………………………………………9分

 ……………………………11分

由得，，

∴ 时，单调递增；时单调递减；………………13分

∴

∴ 当，面积的最大值为.……14分

19．解：1）改进工艺后，每件产品的销售价为20（1+x）元  ……    2分

月平均销售量为件，则月平均利润（元）……4分

y与x的函数关系式为 …… 6分

（2）令……8分

    …… 10分

即函数在上单调递减，……12分

所以函数在取得最大值.  …… 13分

答：改进工艺后当时，使得旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大……14分

20.解：（1）分别令，2，3，得

       ∵，∴，，.………………………………………4分

   （2）证法一：猜想：，………………………………………………………5分

              由                   ①

        可知，当≥2时，   ②

        ①-②，得  ，即.………………7分

        1）当时，，∵，∴；……………8分

        2）假设当（≥2）时，.

          那么当时，

              ，

              ∵，≥2，∴，

              ∴.

          这就是说，当时也成立，

          ∴（≥2）.  显然时，也适合.

         故对于n∈N*，均有.………………………………………10分

     证法二：猜想：，………………………………………………………5分

     1）当时，成立；…………………………………………………6分

     2）假设当时，.…………………………………………………7分

        那么当时，.

∴，

        ∴

       （以下同证法一）…………………………………………………………10分

（3）证法一：要证≤，

     只要证≤，………………11分

     即≤，…………………12分

 将代入，得≤，

即要证≤，即≤1. …………………………13分

∵，，且，∴≤,

即≤，故≤1成立，所以原不等式成立. ………………………14分

证法二：∵，，且，

        ∴≤      ①

        当且仅当时取“”号.   …………………………………11分

∴≤      ②

        当且仅当时取“”号.   …………………………………12分

       ①+②，得

      （）≤，

当且仅当时取“”号. ……………………………………13分

∴≤.………………………………………14分

   证法三：可先证≤.   ………………………………………11分

           ∵，

           ，≥，……………………………12分

           ∴≥，

∴≥，当且仅当时取等号. ………………13分

          令，，即得

          ≤，

         当且仅当即时取等号. ………………………14分

21:解：（1）数表中前行共有个数，

即第i行的第一个数是 …… 2分     ∴＝．

∵，＝2010，

∴ i＝11．                          …… 4分

令,  解得．            …… 6分

（2）∵

．                 …… 7分

∴．                   

当时, , 则;

当时, , 则;

当时, , 则;

当时, 猜想: .          …… 11分

下面用数学归纳法证明猜想正确.

① 当时,, 即成立;

② 假设当时, 猜想成立, 即,  则,∵,

∴即当时，猜想也正确.

由①、②得当时, 成立当时,.         …… 13分 综上所述, 当时, ; 当时,.  …… 14分 另法( 证明当时, 可用下面的方法):

当时, C + C + C+ C