辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈5：

应用型问题

    数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.

    例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？

讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.

设第n次去健身房的人数为a_n，去娱乐室的人数为b_n，则.

.

，于是

即      .

.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.

上述解法中提炼的模型, 使我们联想到了课本典型习题（代数下册P.132第34题）

已知数列的项满足

其中，证明这个数列的通项公式是

有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.

    例2 某人上午7时乘摩托艇以匀速V千米/小时（4≤V≤20）从A港出发前往50千米处的B港，然后乘汽车以匀速W千米/小时（30≤W≤100）自B港向300千米处的C市驶去，在同一天的16时至21时到达C市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x小时、y小时，若所需经费元，那么V、W分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费.

    讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.

由于又

则z最大时P最小.

作出可行域，可知过点（10，4）时, z有最大值38，

    ∴P有最小值93，这时V=12.5，W=30.

    视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.

    例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.

讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.

由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a₁，a₂，…, a₂₅小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且

，化简可得.

解得.

可见a₁的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.

对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈4：

开放型问题

        数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.

例 1 设等比数列的公比为  ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请  明 理 由.

   讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的.

   设存在常数， 使数列 成等比数列.

     (i) 当  时， 代入上式得

          即=0

但, 于是不存在常数 ，使成等比数列.

     (ii) 当 时，， 代 入 上 式 得

    .

       综 上 可 知 ,  存 在 常 数 ，使成等比数列.

   等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !

例2  某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；

 (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

 (i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

     (ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.

讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题.

   （1）

            =.                                    

   （2）解不等式  ＞0,

得       ＜x＜.

∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.

故从第3年工厂开始盈利.

（3）(i) ∵　≤40

当且仅当时，即x=7时，等号成立.

∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.

(ii)　　y=-2x²+40x-98= -2（x-10）² +102，

当x=10时，y_max=102.

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元.

试题详情

辽宁省大连23中2009年高考数学第二轮复习秘笈3：

代数推理

数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.

    例1  设函数，已知，时恒有，求a的取值范围.

     讲解: 由

         ,

从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.

当直线与半圆相切时，易求得舍去）.

故.

本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.

还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.

    例2 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.

    讲解: 构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函数.

    ∵n是大于1的 正整数，

对一切大于1的正整数恒成立，必须,

即

这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.

    例3  已知函数在区间[－b，1－b]上的最大值为25，求b的值.

    讲解: 由已知二次函数配方, 得

     时，的最大值为4b²+3=25. 

      上递增，

      上递增，

         .

       关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标在不在区间[－b，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.

   例4已知

    的单调区间；

    （2）若

    讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形  , 得 ,

    （2）首先证明任意

事实上,

     而

      .

     函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题  型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意采用逆向分析法, 给出你的想法!

     例5  已知函数f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?

(1) 证明函数f(x)的图象关于点P()对称．?

(2) 令a_n＝，对一切自然数n，先猜想使a_n＞ｎ^２成立的最小自然数a,并证明之．?

(3) 求证：∈Ｎ).

讲解: (1)关于函数的图象关于定点P对称, 可采用解几中的坐标证法.

设M(x,y)是f(x)图象上任一点，则M关于P()的对称点为M’（１－ｘ，１－ｙ），?

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的图象上，

故函数f(x)的图象关于点P()对称.?

(2)将f(n)、f(1-n)的表达式代入a_n的表达式，化简可得a_n＝ａ^ｎ猜a=3,

即3^ｎ＞ｎ^２．?

下面用数学归纳法证明．?

设n=k(k≥２)时，3^ｋ＞ｋ^２．?

那么n=k+1，3^ｋ＋１＞３?３^ｋ＞３ｋ^２?

又3k^２－（ｋ＋１）^２＝２（ｋ－）^２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?

∴３^ｎ＞ｎ^２.?

(3)∵３^ｋ＞ｋ^２?

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?

令k=1,2,…，n，得n个同向不等式，并相加得：

函数与数列综合型问题在高考中频频出现,是历年高考试题中的一道亮丽的风景线.针对本例,你能够猜想出最小自然数a=3吗? 试试你的数学猜想能力.

    例6 已知二次函数，设方程的两个实根为x₁和x₂.

   （1）如果，若函数的对称轴为x=x₀，求证：x₀＞－1；

   （2）如果，求b的取值范围.

讲解:（1）设，由得, 即

            ，

故；

（2）由同号.

①若.

又，负根舍去）代入上式得

，解得；

②若 即4a－2b+3＜0.

同理可求得.

    故当

    对你而言, 本例解题思维的障碍点在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同类问题, 你会很顺利的克服吗? 我们力求做到学一题会一类, 不断提高逻辑推理能力.

   例7 对于函数，若存在成立，则称的不动点。如果函数有且只有两个不动点0，2，且

   （1）求函数的解析式；

   （2）已知各项不为零的数列，求数列通项；

   （3）如果数列满足，求证：当时，恒有成立.

  讲解:  依题意有,化简为 由违达定理, 得

解得 代入表达式，由

得 不止有两个不动点，

（2）由题设得     （*）

且          （**）

由（*）与（**）两式相减得：

解得（舍去）或，由，若这与矛盾，，即{是以-1为首项，-1为公差的等差数列，；

  （3）采用反证法，假设则由（1）知

,有

，而当这与假设矛盾，故假设不成立，.

  关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上:

  由得<0或

  结论成立；

  若，此时从而即数列{}在时单调递减，由，可知上成立.

     比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.

    例8 设a，b为常数，：把平面上任意一点

 （a，b）映射为函数

   （1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；

   （2）证明：当，这里t为常数；

   （3）对于属于M的一个固定值，得，在映射F的作用下，M₁作为象，求其原象，并说明它是什么图象.

    讲解: （1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即与相同，

即 对一切实数x均成立.

特别令x=0，得a=c；令，得b=d这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立

故不存在两个不同点对应同函数.

（2）当时，可得常数a₀，b₀，使

=

由于为常数，设是常数.

从而.

（3）设，由此得

在映射F之下，的原象是（m，n），则M₁的原象是

.

消去t得，即在映射F之下，M₁的原象是以原点为圆心，为半径的圆.

    本题将集合, 映射, 函数综合为一体, 其典型性和新颖性兼顾, 是一道用“活题考死知识”的好题目, 具有很强的训练价值.

例9  已知函数f(t)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.

   （1）求f(1)的值;

   （2）证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t；

   （3）试求满足f(t)=t的整数t的个数，并说明理由.

讲解 （1）为求f(1)的值，需令

令.

令.

   （2）令(※)

.

由,

,

于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t.

   （3）由※及（1）可知.

下面证明当整数.

(※)得

即……，

将诸不等式相加得

   .

综上，满足条件的整数只有t=1，.

本题的求解显示了对函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，这种赋值法在2002年全国高考第（21）题中得到了很好的考查.

例10  已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，且满足x、y∈（－1，1） 有．

（1）证明：f（x）在（－1，1）上为奇函数；

（2）对数列求；

（3）求证

    讲解  （1）令则

            令则 为奇函数. 

   （2）， 

    是以－1为首项，2为公比的等比数列．

  （3）

 而  

    本例将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例. 在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法.

试题详情