如图，在△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=3，AB=5，过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D．动点P从点B出发以每秒3个单位的速度沿B-A-D方向向终点D运动，另一动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A-C-B方向向终点B运动，连接PQ．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点，则另一点也立即停止运动．设动点运动的时间为t秒．
（1）求线段AD的长；
（2）当点Q在线段AC上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；
（3）请探索：在整个运动过程中，是否存在某一时刻t，使得直线PQ与△ABC的一边平行？若存在，请求出所有满足条件t的值；若不存在，请说明理由；
（4）当t=______

如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）①如果AB=AC，∠BAC≠90°，点D在射线BC上运动．在图4中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；
②如果∠BAC=90°，AB≠AC，点D在射线BC上运动．在图5中同样作出正方形ADEF，你发现（1）问中的结论是否成立？不用说明理由；

（3）要使（1）问中CF⊥BC的结论成立，试探究：△ABC应满足的一个条件，（点C、F重合除外）画出相应图形（画图不写作法），并说明理由；
（4）在（3）问的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，设AC=2

2

，BC=

3

2

，求线段CP长的最大值．

已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线MN上的一个动点，
（1）如图1，如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），连接CE交AB于点P．若AE为x，AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过点B作BD⊥MN，垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的⊙C与以ED为半径的⊙E相切，求⊙E的半径．