（文）设F₁、F₂分别为椭圆C：（m＞0，n＞0且m≠n）的两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，）到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆C的方程．
（2）如果点P是（1）中所得椭圆上的任意一点，且，求△PF₁F₂的面积．
（3）若椭圆C具有如下性质：设M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K_QM、K_QN，那么K_QM和K_QN之积是与点Q位置无关的定值．试问：双曲线（a＞0，b＞0）是否具有类似的性质？并证明你的结论．通过对上面问题进一步研究，请你概括具有上述性质的二次曲线更为一般的结论，并说明理由．

已知

i

，

j

是x，y轴正方向的单位向量，设

a

=(x+2)

i

+y

j

，

b

=(x-2)

i

+y

j

，且满足|

a

|-|

b

|=2
（1）求点P（x，y）的轨迹E的方程．
（2）若直线l过点F₂（2，0）且法向量为

n

=（t，1），直线与轨迹E交于P、Q两点．点M（-1，0），无论直线l绕点F₂怎样转动，

MP

•

MQ

是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数t的取值范围．

定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：

x2

4

+y2=1．
（1）若椭圆C2：

x2

16

+

y2

4

=1，判断C₂与C₁是否相似？如果相似，求出C₂与C₁的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆C_b的方程；若在椭圆C_b上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线y=x与两个“相似椭圆”M：

x2

a2

+

y2

b2

=1和Mλ：

x2

a2

+

y2

b2

=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分别交于点A，B和点C，D，试在椭圆M和椭圆M_λ上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使△CDF和△ABE组成以λ为相似比的两个相似三角形，写出具体作法．（不必证明）

给定椭圆C：C，称圆心在坐标原点O，半径为（a＞b＞0）的圆是椭圆C的“伴随圆”．
（1）若椭圆C过点，且焦距为4，求“伴随圆”的方程；
（2）如果直线与椭圆C的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点轨迹的大致图形；
（3）已知椭圆C的两个焦点分别是Q（a，b），椭圆C上一动点M₁满足．设点P是椭圆C的“伴随圆”上的动点，过点P作直线l₁、l₂使得l₁、l₂与椭圆C都各只有一个交点，且l₁、l₂分别交其“伴随圆”于点M、N．当P为“伴随圆”与M、N轴正半轴的交点时，求与l₂的方程，并求线段的长度．