已知：如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为(0，3)BC＝2AB，P为AD边上一动点(与点A、D不重合)，以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线l，交BC边于点E．当点P运动到点P₁位置时，直线l恰好经过点B此时直线的解析式是y＝2x＋1．

(1)求BC、AP₁的长；

(2)设AP＝m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；

(3)以点E为圆心作⊙E与x轴相切．

①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种不同的位置关系？并求出AP相应的取值范围；

②当直线l把矩形ABCD分成两部分的面积之比为3∶5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何？并请说明理由．

如图1，点A是△ABC和△ADE的公共顶点，∠BAC+∠DAE=180°，AB=k•AE，AC=k•AD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N．
（1）探究∠ANB与∠BAE的关系，并加以证明．
说明：如果你经过反复探索没解决问题，可以从下面①②中选取一个作为已知条件，再完成你的证明，选取①比选原题少得2分，选取②比选原题少得5分．
①如图2，k=1；②如图3，AB=AC．
（2）若△ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并直接写出变化后∠ANB与∠BAE的关系．