（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，

d

=(1，

2

)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：

DA

•

DB

为定值；
（3）对于双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y²=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)及它的顶点．

（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，

d

=(1，

2

)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求

DA

•

DB

的值；
（3）对于双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（M，N都不同于点E），且EM⊥EN，求证：直线MN与x轴的交点是一个定点．

（2013•松江区一模）对于双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定义C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C₁的半焦距为c₁，若c=2c₁，求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程；
（3）过双曲线C：x²-y²=1的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N₁、N₂两点，求证：对任意的k∈[-2-

1

4

，2-

1

4

]，在伴随曲线C₁上总存在点S，使得

FN1

•

FN2

=

FS

2．

（2013•松江区一模）对于双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定义C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C₁的半焦距为c₁，若c=2c₁，求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的方程为x²-y²=1，过点M(-

3

，0)且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N₁、N₂两点，求△ON₁N₂的面积（O为坐标原点）
（3）若双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程．