21．(本小题满分14分)设函数.

(Ⅰ)在区间上画出函数的图像；

(Ⅱ)设集合. 试判断集合和之间的关系，并给出证明；

(Ⅲ)当时，求证：在区间上，的图像位于函数图像的上方

解：(Ⅰ)

(Ⅱ)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

.　　　　　　　　　　　　

　　 由于.　　　　　　　　　　　　　

(Ⅲ)[解法一] 当时，.

　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　

. 又，

　①　 当，即时，取，

　　　 .

　　　 ，

　　　 则.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

　　　 ②　 当，即时，取，　　 ＝.

　　 由 ①、②可知，当时，，.

因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.　

[解法二] 当时，.

由 得，

　　 令 ，解得 或，　　　　　　　　

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点；

当时，的图像与函数的图像没有交点.　　

如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.

20．(本小题满分14分)已知：定义在R上的函数f (x)为奇函数，且在上是增函数.

　　 (Ⅰ)求证：f (x)在上也是增函数；

　　 (Ⅱ)对任意，求实数m的取值范围，使不等式 恒成立.

解：(Ⅰ)证明：设，且，

则，且.　　 　　　　　　　　

∵在上是增函数，∴.　　　

又为奇函数，∴,　　　　　　　　　　　

∴, 即在上也是增函数.　　　

(Ⅱ)∵函数在和上是增函数，且在R上是奇函数，

∴在上是增函数.　　　　　　　　　　

于是

.　　　

∵当时，的最大值为，∴当时，不等式恒成立.　

19．(本小题满分14分)设为公差大于0的等差数列，为数列的前n项的和.

已知S₄=24，

　 (Ⅰ)求数列的通项公式 ；

(Ⅱ)若的前n项和

解：(Ⅰ)　

由

(Ⅱ)　　

18．(本小题满分16分)已知函数.

　 (Ⅰ)求的最小正周期及递减区间；　　

(Ⅱ)指出将函数的图象经过怎样的变换而得到函数的图象；

(Ⅲ)若, 求最大值、最小值．

解：(Ⅰ)

　　 ∴

递减区间

(Ⅱ)先把各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位，再把纵坐标扩大到原来的倍(横坐标不变)而得到函数的图象

(Ⅲ)

　当　 即时

当　 即时

17．(本小题满分12分)有四个正数，前三数成等比数列，其和为；后三数成等差数列，其和为．

(Ⅰ)求此四数；

(Ⅱ)分别求以为前三项的等比数列的前项和与以为前三项的等差数列的

前项和；

(Ⅲ)比较与的大小．

解：(Ⅰ)依题意有

解得四数依次为或，因为四数均为正数。所以所求四数依次为

(Ⅱ)，

(Ⅲ)当时，

　　　 当时，

16．给出下列四个函数：①;②;③;④,对于其定义域内的任意的成立的函数为　 ②③　 　　　

15．定义运算为：，例如，，则函数的值域[－1，]　　

14．已知且则A∩B=　

13．已知是偶函数，则函数的图象的对称轴是

12．一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人.如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为__5_____小时.