在复平面内， 是原点，向量对应的复数是，=2+i。

（Ⅰ）如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数和；

（Ⅱ）复数，对应的点C，D。试判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？并证明你的结论。

【解析】第一问中利用复数的概念可知得到由题意得，A（2,1）  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i  ∵ （2+i）(-2i)=2-4i,      ∴  =

第二问中，由题意得，=（2,1）  ∴

同理，所以A、B、C、D四点到原点O的距离相等，

∴A、B、C、D四点在以O为圆心，为半径的圆上

（Ⅰ）由题意得，A（2,1）  ∴B(2,-1)   ∴  =(0,-2) ∴=-2i     3分

     ∵ （2+i）(-2i)=2-4i,      ∴  =                 2分

（Ⅱ）A、B、C、D四点在同一个圆上。                              2分

证明：由题意得，=（2,1）  ∴

  同理，所以A、B、C、D四点到原点O的距离相等，

∴A、B、C、D四点在以O为圆心，为半径的圆上

 

已知在同一平面内满足条件：=，．
（I）求证：△ABC为正三角形；
（II）类比于（I），在同一平面内，若向量满足条件：=，，试判断四边形ABCD的形状，并给予证明．

如图，在三棱锥中，，，是的中点，且，．

（I）求证：平面平面；

（II）试确定角的值，使得直线与平面所成的角为．

在正四棱柱中，，为的中点．

求证：（I）∥平面；  （II）平面;

（自编）（Ⅲ）若E为上的动点，试确定点的位置使直线与平面所成角的余弦值是．