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    (1)试求函数的最大值和最小值, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    把函数的图象按向量平移得到函数的图象．　

    (1)求函数的解析式； (2)若，证明：.

    【解析】本试题主要考查了函数 平抑变换和运用函数思想证明不等式。第一问中，利用设上任意一点为（x,y）则平移前对应点是（x+1,y-2）代入　，便可以得到结论。第二问中，令，然后求导，利用最小值大于零得到。

    (1)解：设上任意一点为（x,y）则平移前对应点是（x+1,y-2）代入　得y-2=ln(x+1)-2即y=ln(x+1),所以．……4分

    (2) 证明：令，……6分

    则……8分

    ,∴,∴在上单调递增．……10分

    故，即

     

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    设函数f(x)=5sin(
    k
    5
    x-
    π
    3
    )(k≠0)    ．
    （1）写出f（x）的最大值M，最小值m，最小正周期T；
    （2）试求最小正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数f（x）至少有一个值是M和一个值是m．

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    设函数f（θ）=
    		3
    sinθ+cosθ    ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
    （Ⅰ）若点P的坐标为(
    1
    2
    ，
    		3
    2
    )    ，求f（θ）的值；
    （Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：
    x+y≥1
    x≤1
    y≤1
    上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．

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    设函数f（α）=sinα+
    		3
    cosα，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤α≤π．
    （1）若P点的坐标为（
    		3
    ，1），求f（α）的值；
    （2）若点P（x，y）为平面区域
    x+y≥1
    y≥x
    y≤1
    上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数f（α）的最小值和最大值．

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    设函数fn( θ )=sinnθ+( -1 )ncosnθ，0≤θ≤
    π
    4
    ，其中n为正整数．
    （Ⅰ）判断函数f1（θ）、f3（θ）的单调性，并就f1（θ）的情形证明你的结论；
    （Ⅱ）证明：2f6（θ）-f4（θ）=（cos4θ-sin4θ）（cos2θ-sin2θ）；
    （Ⅲ）试给出求函数fn（θ）的最大值和最小值及取得最值时θ的取值的一般规律（不要求给出证明）．
    fn（θ） fn（θ）的
    单调性    		 fn（θ）的最小值及取得最小值时θ的取值 fn（θ）的最大值及取得最大值时θ的取值
    n=1
    n=2
    n=3
    n=4
    n=5
    n=6

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    一、选择题

    BCDC  BBCB  AA

    二、填空题

    11．（-1，0）；12．4；13．-4；14．-1；15．；16．x2(注：本题答案不唯一，只要满足条件 a¹0,2|a|+|b|≤1即可)

    三、解答题

    17．解：由条件知20cos2A=3?,即10cos2A?sinA=3cosA,又cot¹tan,∴cosA¹0,

    解得sin2A=.                     ?????????????????????????????????????????????????????????4分

    (1)    若∠C=60º,则cos2B=cos2(120º-A)=cos(240º-2A)=-cos(60º-2A)=-(cos60ºcos2A+sin60ºsin2A)

    =-.                         ??????????????????????????????????????????????????????????????7分

    (2)    若a<b<c,则A<60º.又由sin2A=<,知0<2A<60º或2A>120º.∴A<30º.???????????????11分

    ∵(sinA-cosA)2=1-sin2A=,∴sinA-cosA=-.???????????????????????????????????????????????????????12分

    18．解:(1)设P(x,y),则=(x+1,y),=(x-1,y),

       ∵,∴(x+1)2=(x-1)2+y2,????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分

    即y2=4x.     

    动点P的轨迹E的方程是y2=4x.      ???????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

      (2)设直线l的方程为x=k(y-1),代入轨迹E的方程y2=4x,整理得:y2-4ky+4k=0.  ?????????6分

    由题意知,(4k)2-4´4k>0且4k>0,解得k>1.    ???????????????????????????????????????????????????????????8分

    由根与系数的关系可得MN的中点坐标为(k(2k-1),2k),

    ∴线段MN垂直平分线方程为:y-2k=-k[x-k(2k-1)],        ?????????????????????????????????10分

    令y=0,得D点的横坐标x0=2k2-k+2,

    ∵k>1,∴x0>3,即为所求.      ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

    19．(1)证明:连结C1E,则C1E^A1B1,

    又∵A1B1^C1C,∴A1B1^平面EDC1,∴A1B­1^DE,

    而A1B1//AB,∴AB^DE.   ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分

    (2)取AB中点为F,连结EF,DF,则EF^AB,∴AB^DF.

       过E作直线EH^DF于H点,则EH^平面DAB,∴EH就是直线A1B1到平面DAB的距离.

       在矩形C1EFC中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=,DF=2,

    ∴在△DEF中,EH=,

    故直线A1B1到平面DAB的距离为.         ???????????????????????????????????????????????????????????9分

    (3)过A作AM^BC于M点,则AM^平面CDB,

       过M作MN^BD于N点,连结AN,则AN^BD,∴∠ANM即为所求二面角的平面角,

       在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M为BC中点,∴MN=,

       在Rt△AMN中,tan∠ANM=,

        故二面角A-BD-C的大小为arctan.      ???????????????????????????????????????????????????????????????14分

    20．解：（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数。

    在方案乙中，前4年的总收入为

        =2600<6000,                       ?????????????????????????????????????????1分

    故n必定不小于5，则由

        2600+320´1.54(n-4)>6000，                       ?????????????????????????????????????4分

    解得 n>6,故n的最小值为7，

    答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资。  ????????????????????????????????????????????6分

    （2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1,y2万元，则

    y1=760n-[50n+n(n-1)?20]=-10n2+720n,    ???????????????????????????????????????????????????????????????8分

    当n≤4时，则y1>0,y2<0,可得y1>y2.          ???????????????????????????????????????????????????????????9分

    当n³5时，y2=2600+320´1.54(n-4)-6000=1620n-9880，

    令y1<y2,可得1620n-9880>-10n2+720n,

    即   n(n+90)>998,   ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????12分

    由10(10+90)>998,9(9+90)<998,可得n的最小值为10.

    答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲。 ??????????????????14分

    21．解: (1)设0≤x1<x2≤1,则必存在实数tÎ(0,1),使得x2=x1+t,

       由条件③得,f(x2)=f(x1+t)³f(x1)+f(t)-2,

       ∴f(x2)-f(x1)³f(t)-2,

       由条件②得, f(x2)-f(x1)³0,

       故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).                 ????????????????????????????????????????????????????????????3分

       又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,   ??????????????????????????????5分

       故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.                        ???????????????????????????????????6分

    (2)解:在条件③中,令x1=x2=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  ????????????????????????????9分

       故当nÎN*时，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

       即f()≤+2.

       又f()=f(1)=3≤2+,

       所以对一切nÎN,都有f()≤+2.                    ???????????????????????????????????????????????12分

    (3)对一切xÎ(0,1,都有.

      对任意满足xÎ(0,1，总存在n(nÎN),使得

            <x≤,                    ????????????????????????????????????????????????????????????????????????14分

      根据（1）（2）结论，可知：

    f(x)≤f()≤+2,

    且2x+2>2´+2=+2,

    故有.

    综上所述，对任意xÎ(0,1,恒成立.   ?????????????????????????????????????????????16分

     


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