如图，双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

5

2

，F1、F₂分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且

F1M

.

F2M

=-

1

4

．
（I）求双曲线的方程；
（II）设A（m，0）和B(

1

m

，0)（0＜m＜1）是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E．证明直线DE垂直于x轴．中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右定点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点B，且与一条渐近线交于点C，点O为坐标原点，又OA=2OB，OA•OC=2，过点F的直线与双曲线右交于点M、N，点P为点M关于x轴的对称点．
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：B、P、N三点共线；
（3）求△BMN面积的最小值．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1  (a＞0，b＞0)经过点A(

3 5

5

，

4 5

5

)，其渐近线方程为y=±2x．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，证明：AF₁⊥AF₂．

设四点A、B、C、D均在双曲线x²-y²=1的右支上．
（1）若

AB

=λ

CD

（实数λ≠0），证明：

OA

•

OB

=

OC

•

OD

（O是坐标原点）；
（2）若|AB|=2，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形OMPN的面积的最大值．