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设数列{a_n}、{b_n}的各项都是正数，S_n为数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，都有，b₁=e，，c_n=a_n+1•lnb_n（常数λ＞0，lnb_n是以为底数的自然对数，e=2.71828…）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）用反证法证明：当λ=4时，数列{c_n}中的任何三项都不可能成等比数列；
（3）设数列{c_n}的前n项和为T_n，试问：是否存在常数M，对一切n∈N^*，（1-λ）T_n+λc_n≥M恒成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请证明你的结论．

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把正偶数列{2n}中的数按“上小下大，左小右大”的原则排成如图“三角形”所示的数表，设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函数f（x）的反函数为f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n．①求数列{f（b_n）}的前n项和S_n；②令Cn=

52n

5n-1

• f(bn) ，{Cn}的前n项之积为T_n（n∈N^*），求证：Tn＜

4

3

•n!．

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把正偶数列{2n}中的数按“上小下大，左小右大”的原则排成如图“三角形”所示的数表，设a_ij（i，j∈N^*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行，从左往右数第j个数．
（1）若a_mn=2010，求m，n的值．
（2）已知函数f（x）的反函数为f^-1（x）=n+125ⁿ•x³（x＞0，n∈N^*），若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为b_n．①求数列{f（b_n）}的前n项和S_n；②令的前n项之积为T_n（n∈N^*），求证：．

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一选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

A

D

D

B

D

B

A

C

D

C

提示：10．解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则 ，所以是等差数列，所以的前项和

11．由题，消去可得：，又由题有：，由以上条件可得：点的轨迹为如图所示的线段，而表示点到坐标原点的距离的平方，所以

12．设点到左准线的距离为，则由双曲线的第二定义有：，由题有，所以，又由第一定义（在右支上），所以，，又由点在右支上，则，，解得：，而，所以

二．填空题

13．       14．          15．         16．  1

提示：15．，， 在单调递减，

16．如图，设三棱锥得体积为,，当且仅当时三棱锥体积最大，过点作,连接，由题可知平面,由三垂线定理可知为侧面与底面成的角，所以，而用等面积法可知：，，所以，代入，得

三．解答题

17．解：（1）取OB中点E，连接ME，NE

…………………………………………2分

又…………………………………4分

…………………………………………………………5分

（2）连接为异面直线与所成的角（或其补角）…7分

由于，所以,,为等腰三角形，……………………………………………………9分

  （3）解法一：连接，设点B到平面OCD的距离为，

由,,,为等腰三角形，

的高为，………11分

又，又 

点B到平面OCD的距离为…………………………………………13分

解法二：点A和点B到平面OCD的距离相等，取的中点P连

接OP,过点作 于点Q，，又

又 ,

线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离, ………………………………12分

由题可知：,,在中.……13分

18．解：在中，

………………………………3分

   ……5分    ……………7分

(2)由余弦定理得，又由已知和（1）可知：

…………………………10分

………………………………13分

19．解：（Ⅰ）平面平面，…………2分

在中，，为中点．……………4分

平面，平面平面．……………6分

（Ⅱ）如图，作交于点，连接，

由已知得平面．是在面内的射影．

由三垂线定理知，为二面角的平面角．……………9分

过作交于点，则，，

．在中，．…………11分

在中，．，

即二面角为．………………………………13分

20．解答：（1）_{，，又因为} 按向量平移后得函数_……..2分

由g(x)图像关于原点对称得g(-x)=-g(x),即,

,…………………………………………………...4分

由

当（舍）所以…….6分

（2）证明：因为

所以……………………………………8分

故                 ……………………………………9分

又   ……………………12分

所以     .……………………………………13分

21．解：（I）由已知可得

       ……2分    所以…3分  椭圆方程为……5分

   （II），且定值为    由（I），A₂（2，0），B（0，1），且//A₂B

       所以直线的斜率………………………………6分

       设直线的方程为

             解得：

即

   ………………………………………………8分

       ……………………9分

       又因为

          又

       是定值。…………12分

22．（1）（为正整数），

所以数列的反数列为的通项（为正整数）.   …………3分

（2）对于（1）中，不等式化为.

设，

，

∴数列单调递增, 所以, ，要使不等式恒成立，只要.

∵，∴，又,

所以，使不等式对于任意正整数恒成立的的取值范围是.…………7分（3）设公共项为正整数.                    

①当为奇数时，.   ，

则（表示是的子数列），.所以的前项和.

② 当为偶数时，.，则，同样有，.所以的前项和.                        …………12分