练习册

  • 练习册
  • 试题
    12已知函数,对任意实数满足且 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f（t）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+k（x+y）+3，k为常数，且f（1）=1，f（2）=17．
    （1）若t为正整数，求f（t）的解析式（已知公式：12+22+32+…+n2=
    16
    n(n+1)(2n+1)    ；
    （2）求满足f（t）=t的所有正整数t；
    （3）若t为正整数，且t≥4时，f（t）≥mt2+（4m+1）+3m恒成立，求实数m的最大值．

    查看答案和解析>>

    已知函数f（x）（x∈R）满足：对于任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+
    1
    2
    恒成立，且当x＞0时，f(x)＞-
    1
    2
    恒成立；
    （1）求f（0）的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；
    （2）判定函数f（x）在R上的单调性，并加以证明；
    （3）若函数F（x）=f（max{-x，2x-x2}）+f（-k）+1（其中max{a，b}=
    a，(a≥b)
    b，(a＜b)
    ）有三个零点x1，x2，x3，求u=（x1+x2+x3）+x1•x2•x3的取值范围．

    查看答案和解析>>

    已知函数f（x）对任意x∈R满足f（x）+f（-x）=0，f（x-1）=f（x+1），若当x∈[0，1）时，f（x）=ax+b（a＞0且a≠1），且f(
    3
    2
    )=
    1
    2
    ．
    （1）求实数a，b的值；
    （2）求函数g（x）=f2（x）+f（x）的值域．

    查看答案和解析>>

    已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y）+
    1
    2
    ，且f（
    1
    2
    ）=0，当x＞
    1
    2
    时，f（x）＞0．给出以下结论：①f（0）=-
    1
    2
    ；②f（-1）=-
    3
    2
    ；③f（x）为R上减函数；④f（x）+
    1
    2
    为奇函数；⑤f（x）+1为偶函数．其中正确结论的序号是
    ①②④
    ①②④
    ．

    查看答案和解析>>

    已知函数f（x）=
    a
    •（
    b
    -
    a
    ），其中
    a
    =（cosωx，0），
    b
    =（
    		3
    sinωx，1），且ω为正实数．
    （1）求f（x）的最大值；
    （2）对任意m∈R，函数y=f（x），x∈[m，m+π]的图象与直线y=
    1
    2
    有且仅有一个交点，求ω的值，并求满足f（x）=
    		3
    -1
    2
    ，x∈[
    π
    12
    ，
    7π
    12
    ]的x的值．

    查看答案和解析>>

    一、选择题：

    1. 答案：C. ｛x | x≥0｝,故选C.

    2.C

    3. （理）对于中，当n＝６时，有所以第２５项是７．选C.

    4.D

    5.Ａ．　∵

    　　　　　　＝，

    ∴根据题意作出函数图象即得．选A．

    6. 答案：Ｄ．当x=1时，y＝m ,由图形易知m<0, 又函数是减函数，所以0<n<1,故选Ｄ．

    7.A

    8.C

    二、填空题：

    9.810

    10．答案： ．

    11. 答案：.

    12.

    13. （2）、（3）

    14.

    15．（本题满分分）

    已知，

    （Ⅰ）求的值；

    （Ⅱ）求的值．

    解：（Ⅰ）由, ，         ………………………2分                                   

     ．                  …………………5分

    （Ⅱ） 原式＝             

                                  …………………10分

     ．                           …………………12分

    16．（本题满分分）

    在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

    （Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

    （Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．

    解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，

      ，，

    ，且当或时，．          ……………3分

    因此，随机变量的最大值为．

    有放回抽两张卡片的所有情况有种，

    ．                             

    答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为．   ………5分

    （Ⅱ）的所有取值为．

    时，只有这一种情况，

     时，有或或或四种情况，

    时，有或两种情况．

    ，，．              …………11分

    则随机变量的分布列为：

    因此，数学期望． ……………………13分

     

     

     

     

    17．（本题满分分）

    如图，已知正三棱柱―的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．

     （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；（Ⅱ） 求二面角的大小；

    （Ⅲ）求点到平面的距离．

    解：（Ⅰ）设正三棱柱―的侧棱长为．取中点，连．

    是正三角形，．

    又底面侧面，且交线为．

    侧面．

    连，则直线与侧面所成的角为．   ……………2分

    在中，，解得．       …………3分

    此正三棱柱的侧棱长为．                         ……………………4分

     注：也可用向量法求侧棱长．

    （Ⅱ）解法1：过作于，连，

    侧面．

    为二面角的平面角．           ……………………………6分

    在中，，又

    ，  ．

    又

    在中，．               …………………………8分

    故二面角的大小为．               …………………………9分

    解法2：（向量法，见后）

    （Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．                      …………10分

    在中，．         …………12分

    为中点，点到平面的距离为．       …………13分

    解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．

    解法3：（思路）等体积变换:由可求．

    解法4：（向量法，见后）

    题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：

    （Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系．

    则．

    设为平面的法向量．

    由 得．

    取                                       …………6分

    又平面的一个法向量                          …………7分

    ．   …………8分

    结合图形可知，二面角的大小为．         …………9分

    （Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，…………10分

    点到平面的距离＝．13分

    18． （本小题满分14分）

    一束光线从点出发，经直线上一点反射后，恰好穿过点．

    （Ⅰ）求点关于直线的对称点的坐标；

    （Ⅱ）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；

    （Ⅲ）设直线与椭圆的两条准线分别交于、两点，点为线段上的动点，求点 到的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点的坐标．

    解：（Ⅰ）设的坐标为，则且．……2分

    解得，  因此，点 的坐标为．  …………………4分

    （Ⅱ），根据椭圆定义，

    得，……………5分

    ，．

    ∴所求椭圆方程为．                ………………………………7分

    （Ⅲ），椭圆的准线方程为．      …………………………8分

    设点的坐标为,表示点到的距离，表示点到椭圆的右准线的距离．

    则，．

    ，         ……………………………10分

    令，则，

    当，， ，．

     ∴ 在时取得最小值．               ………………………………13分

    因此，最小值＝，此时点的坐标为．…………14分

    注：的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

    说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．

    19．（本题满分分）

    已知数列满足：且，．

    （Ⅰ）求，，，的值及数列的通项公式；

    （Ⅱ）设，求数列的前项和；

     

    解：（Ⅰ）经计算，，，．   

    当为奇数时，，即数列的奇数项成等差数列，

    ；                     

    当为偶数，，即数列的偶数项成等比数列，

    ．                           

    因此，数列的通项公式为．  

     

    （Ⅱ），                             

       ……（1）

     …（2）

    （1）、（2）两式相减，

    得     

    ．

       ．                        

     

    20．（本题满分分）

    已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．

    （Ⅰ）设，试求函数的表达式；

    （Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

    （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数

    ，，使得不等式成立，求的最大值．

    解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，

     ，   切线的方程为：，

    又切线过点， 有，

    即，   ………………………………………………（1）  …… 2分

    同理，由切线也过点，得．…………（2）

    由（1）、（2），可得是方程的两根，

       ………………（ * ）             ……………………… 4分

               ，

    把（ * ）式代入,得,

    因此，函数的表达式为．   ……………………5分

    （Ⅱ）当点、与共线时，，＝，

    即＝，化简，得，

    ，．       ………………（3）     …………… 7分

    把（*）式代入（3），解得．

    存在，使得点、与三点共线，且 ．       ……………………9分

    （Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，

    ，

    则．

    依题意，不等式对一切的正整数恒成立，   …………11分

    ，

    即对一切的正整数

    同步练习册答案