(Ⅲ)设().求证:当时., 2007年温州中学高三适应性考试 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

设数列{an}中,Sn是它的前n项和,a1=4,nan+1=Sn+n(n+1)对任意n∈N*均成立.
(I)求证:数列{an}是等差数列;
(II)设数列{bn}满足bn+1-bn=an,其中b1=2,求数列{bn}的通项公式;
(III)设cn=
1bn
,求证:c1+c2+…+cn<1.

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已知数列{an}满足an=2an-1+2n(n≥2),且a1=2.
(Ⅰ)设bn=
an2n
,求证数列{bn}为等差数列;
(Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn

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设数列{an}前n项和Sn,且Sn=2an-2,令bn=log2an
(I)试求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=
bnan
,求证数列{cn}的前n项和Tn<2.
(Ⅲ)对任意m∈N*,将数列{2bn}中落入区间(am,a2m)内的项的个数记为dm,求数列{dm}的前m项和Tm

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设函数f(x)=Ax3+Bx2+Cx+6A+B,其中实数A,B,C满足:①-8B+1≤12A+4C≤8B+9,②3A<-B≤6A
(Ⅰ)求证:f(1)≥
1
4
f(-1)≤
9
4

(Ⅱ)设0≤x≤π,求证:f(2sinx)≥0.

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(2011•南通一模)选修4-5:不等式选讲
设n∈N*,求证:
C
1
n
+
C
2
n
+…+
C
n
n
n(2n-1)

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第I卷(选择题共50分)

一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

总分

答案

D

B

C

C

C

D

B

D

B

D

 

第Ⅱ卷(非选择题共100分)

二、填空题:本大题共7个小题,每小题4分,共28分,将答案填写在题中的横线上.

    11.  0                          12.                    

    13.     -1                       14.            

15.                16.                 17.___ ④____

三、解答题:本大题共5个小题,第18-21题每小题14分,第22题16分,共72分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤

18、数列满足:

(Ⅰ)记,求证:是等比数列;(Ⅱ)求数列的通项公式;

解:(Ⅰ)

是等比数列;

(Ⅱ)

19、如图,平面四边形ABCD中, AB=13, AC=10, AD=5,,=120,

(Ⅰ) 求;  (Ⅱ) 设求实数xy的值.

解:(Ⅰ)设

(Ⅱ)

(其他方法解对同样给分)

20、如图,正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等,DE分别是CC1AB1的中点,点FBC上且满足BFFC=1∶3 

(Ⅰ)若MAB中点,求证  BB1∥平面EFM

(Ⅱ)求证  EFBC

(Ⅲ)求二面角A1B1DC1的大小 

(1)    证明 连结EMMF,∵ME分别是正三棱柱的棱AB

AB1的中点,

BB1ME,又BB1平面EFM,∴BB1∥平面EFM 

(2)证明  取BC的中点N,连结AN由正三棱柱得  ANBC

BFFC=1∶3,∴FBN的中点,故MFAN

MFBC,而BCBB1BB1ME 

MEBC,由于MFME=M,∴BC⊥平面EFM

EF平面EFM,∴BCEF 

(3)解  取B1C1的中点O,连结A1O知,A1O⊥面BCC1B1,由点OB1D的垂线OQ,垂足为Q,连结A1Q,由三垂线定理,A1QB1D,故∠A1QD为二面角A1B1DC的平面角,易得∠A1QO=arctan 

(建立坐标系解对同样给分)

21、已知点D在定线段MN上,且|MN|=3,|DN|=1,一个动圆C过点D且与MN相切,分别过M、N作圆C的另两条切线交于点P.

(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求点P的轨迹方程;

(Ⅱ)过点M作直线l与所求轨迹交于两个不同的点A、B,

,且λ∈[2-,2+],记直线l

与直线MN夹角为θ,求的取值范围.

解:(Ⅰ)以直线MN为x轴,MN的中点为坐标原点O,

建立直角坐标系xOy. 

∵PM-PN=(PE+EM)-(PF+FN)=MD-ND=1

或PM-PN=(PE+EM)-(PF+FN)=MD-ND=-1

∴点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长为1的双曲线(不包含顶点),

其轨迹方程为(y≠0) 

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1+2,y1),=(x2+2,y2)

设AB:my=x+,代入得,3(my-)2-y2-2=0,

即(8m2-1)y2-24my+16=0.

 =λ,y1=-λy2,∴ 

得,

∈[-2,0],即

 ,故

22、已知函数是定义在上的奇函数,当时,有

(其中为自然对数的底,).

(Ⅰ)若,求函数的解析式;

(Ⅱ)试问:是否存在实数,使得当的最小值是?如果存在,求出实数的值;如果不存在,请说明理由.

(Ⅲ)设),求证:当时,

解:(Ⅰ)时,,故有,由此及是奇函数得,因此,函数的解析式为

(Ⅱ)当时,

①若,则在区间上是减函数,故此时函数在区间上没有最小值;

②若,则令,且在区间上是减函数,而在区间上是增函数,故当时,

综上所述,当时,函数在区间上的最小值是3.

(Ⅲ)证明:令。当时,注意到,故有

       ①当时,注意到,故

       ②当时,有,故函数在区间上是增函数,从而有

       因此,当时,有

       又因为是偶函数,故当时,同样有,即

       综上所述,当时,有

 


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