题目列表(包括答案和解析)
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性,并给以证明;
(Ⅱ)若f(1)=1且f(x)≤-2bm+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数.当a、b∈[-1,1],且a+b≠0时,有.
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性,并给以证明;
(Ⅱ)若f(1)=1且f(x)≤-2bm+1对所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.
已知函数f(x)=x2-ax+b(a,b∈R)的图像经过坐标原点,且,数列{}的前n项和=f(n)(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}满足+ = ,求数列{}的前n项和.
【解析】第一问,∵y=f(x)的图像过原点,∴
由得,∴a = 1,∴
∴,,
∵,所以,数列的通项公式为。 …………6分
第二问中,由
∴
已知.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,恒成立;
(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:.
【解析】(1)g(x)=lnx+,= (1’)
当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;
当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时,h(x),的变化情况如表
x |
1 |
(1,e) |
e |
(e,+) |
|
- |
0 |
+ |
|
h(x) |
e-2 |
↘ |
0 |
↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e (5’)
设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1 ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
已知函数.
(1)证明f(x)是奇函数;并求f(x)的单调区间.
(2)分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式,并加以证明.
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