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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

A

C

B

D

C

B

A

Ｂ

Ｄ

Ａ

二、填空题

13．  　　　 14. 7500  　　　  15. （-1，1）

16. 　　　　　　１７．45^o  　　　　　　　　１８．

三、解答题

１９解：（Ⅰ）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因为，所以，所以，

即的取值范围为┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因为，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值为，当即为等边三角形时取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

２０（Ⅰ）证明（方法一）取中点，连接，因为分别为中点，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取中点，连接，

因为分别为中点，所以

又因为分别为中点，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

且，

所以面面，

又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

（方法三）取中点，连接，

由题可得，又因为面面，

所以面，又因为菱形中，所以.

可以建立如图所示的空间直角坐标系

┅┅┅┅┅┅┅7分

不妨设，

可得，

，，，，所以

所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

设面的一个法向量为，则，不妨取，则，所以，又因为面，所以面.

┅┅┅┅┅┅┅12分

（Ⅱ）（方法一）

过点作的垂线交于，连接.

因为，

所以，所以面，

所以为二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

因为面面，所以点在面上的射影落在上，所以，

所以，不妨设，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.

┅┅┅┅┅┅┅８分

又，设面的一个法向量为，则，不妨取，则.┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以，因为二面角为锐角，所以二面角的大小为┅┅┅┅┅┅┅１2分

２１解：

（Ⅰ）从盒中一次性取出三个球，取到白球个数的分布列是超几何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

所以期望为，所以，即盒中有 3个红球，2 个白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

（Ⅱ）由题可得的取值为0，1，2，3.

,=,,

所以的分布列为

0

1

2

3

P

                                                          ┅┅┅┅┅┅┅１１分

E =                                

答：红球的个数为2，的数学期望为2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

又，所以，

所以是等差数列，首项为，公差为1┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

则  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１2分

２３解：（Ⅰ）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，

∵，∴为直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圆C以原点O为圆心，线段A₁A₂为直径，故其方程为．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求椭圆C₁的方程是．           ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率为，则PA的斜率为，则PA的方程为：化简为：，    

同理PB的方程为                ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同时过P点，则x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直线方程为：x₀x+y₀y=4               ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以OP为直径的圆，然后求出该圆与圆C的公共弦所在直线方程即为AB的方程）

      从而得到、

所以      ┅┅┅┅┅┅┅8分

当且仅当.           ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用椭圆的参数方程、函数求最值等方法求的最大值）

２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

①当，即，在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②当，即，当时，在上有，所以在单调递增；当时，在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③当，即

当时，函数对称轴在y轴左侧，且，所以在上有，所以在单调递增；┅┅┅┅┅┅┅８分

当时，函数对称轴在右侧，且，

两个根分别为，所以在上有，即在单调递增；在上有，即在单调递减.

综上：时，在单调递增；时，在单调递增，在单调递减. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当时，有极大值，极小值，所以

，又因为，

┅┅┅１2分

所以

=