题目列表(包括答案和解析)
有下列结论:
①若两条直线平行,则其斜率必相等;
②若两条直线的斜率乘积为-1, 则其必互相垂直;
③过点(-1,1),且斜率为2的直线方程是;
④同垂直于x轴的两条直线一定都和y轴平行;
⑤若直线的倾斜角为,则;
其中正确的结论有( )。(填写序号)
给定下列结论:
①在区间内随机地抽取两数则满足概率是;
②已知直线l1:,l2:x- by + 1= 0,则的充要条件是;
③为了解一片经济林的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:cm)。根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如下),那么在这100株树木中,底部周长小于110cm的株数是70株;
④极坐标系内曲线的中心与点的距离为.
以上结论中正确的是_____________________(用序号作答)
对于函数,有下列结论:①,函数是偶函数; ②,使得方程有两个不等实数根; ③,若,则一定有;④,使得函数在上有三个零点。
上述四个结论正确的是__________.(填序号)
一、选择题
1―5 ADBAC 6―10 BCDCD 11―12 AB
二、填空题
13.24 14.24个 15.144 16.②
三、解答题
17.解:随机猜对问题A的概率p1=,随机猜对问题B的概率p2=.………1分
回答问题的顺序有两种,分别讨论如下:
(1)先回答问题A,再回答问题B.
参与者获奖金额ξ可取0,m,m+n.,则
P(ξ=0)=1-p1=,P(ξ=m)=p1(1-p2)=,P(ξ=m+n)=p1p2=.
Eξ=0×+m×+(m+n)×=. ………5分
(2)先回答问题B,再回答问题A.
参与者获奖金额η可取0,n,m+n.,则
P(η=0)=1-p2=,P(η=n)=p2(1-p1)=,P(η=m+n)=p2p1=.
Eη=0×+n×+(m+n)×=. ………9分
Eξ-Eη=()-()=
于是,当>时,Eξ>Eη,先回答问题A,再回答问题B,获奖的期望值较大;
当=时,Eξ=Eη,两种顺序获奖的期望值相等;
当<时,Eξ<Eη,先回答问题B,再回答问题A,获奖的期望值较大. ………12分
18.解:(1)
………3分
∵角A为钝角,
……………………………4分
取值最小值,
其最小值为……………………6分
(2)由………………8分
,
…………10分
在△中,由正弦定理得: ……12分
19.(Ⅰ)证法一:取的中点G,连结FG、AG,
依题意可知:GF是的中位线,
则 GF∥且,
AE∥ 且,
所以GF∥AE,且GF=AE,即四边形AEFG为平行四边形,………3分
则EF∥AG,又AG平面,EF平面,
所以EF∥平面. ………6分
证法二:取DC的中点G,连结FG,GE.
∵∥,平面,∴FG∥平面.
同理:∥平面,且,
∴平面EFG∥平面, ………3分
平面,
∴EF∥平面. ………6分
证法三:连结EC延长交AD于K,连结,E、F分别CK、CD1的中点,
所以 FE∥D1K ………3分
∵FE∥D1K,平面,平面,∴EF∥平面. ………6分
(Ⅱ)解法一:⊥平面ABCD,过D在平面ABCD内作DH⊥EC于H,连接D1H.
∵DH是D1H在平面ABCD内的射影,∴D1H⊥EC.
∴∠DHD1为二面角的平面角。即∠DHD1=. ………8分
在△DHD1中,tan∠DHD1=,∴,=,
∴,∴,∴,∴. ………12分
解法二:以D为原点,AD、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系。
D(0,0,0),D1(0,0,1),E(1,x,0)、C(0,2,0)。
平面DEC的法向量=(0,0,1),设为平面D1EC的法向量,
则∴∴。 ………8分
设二面角的大小为,∴cos=。
∴,∴∵<2,∴。 ………12分
20.解(Ⅰ)设,,椭圆的方程为.
∵直线平行于向量,
∴与=(3,1)共线
∴.
∴。 ………2分
又∵、在椭圆上,∴∴,
∴=-1, ………4分
∴,∴,,∴.………6分
(Ⅱ)设,因为直线AB过(,0),所以直线AB的方程为:,代入椭圆方程中得
∵∴,即,
∴, ………8分
由,
∴
∵,
∴
∴,
∵,,
又因为,∴。………10分
∴,
∴,即。
∴的轨迹方程. ………12分
21.解:(1)①直线PQ的斜率,
由,所以,
即直线PQ的斜率. …………2分
由,又,所以,
即图象上任一点切线的斜率k的取值范围为. …………4分
②. …………6分
(2)当,根据(1)中②的结论,得到存在,,使得
,, …………9分
又为单调递减函数,所以,即
,而,所以
,
因为,所以x>0, 1-x>0
所以 . …………12分
22.证明:(Ⅰ)连接OD,∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,
∵OC∥AD, ∴∠OAD=∠BOC, ∠DOC=∠ODA.
∴∠DOC=∠BOC,∵OD=OB,OC=OC,
∴△DOC≌△BOC. ∴∠ODC=∠OBC. …………2分
∵BC是⊙O的切线, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°,
∴DC是⊙O的切线. …………5分
(Ⅱ)连接BD, ∵AB是⊙0的直径, ∴∠ADB=90°,∴∠OBC=∠ADB.
∵∠OAD=∠BOC. ∴△ADB∽△OBC. ∴,
∴ …………10分
23.解:(Ⅰ)的参数方程为,
即。 …………5分
(Ⅱ)由
可将,化简得。
将直线的参数方程代入圆方程得
∵,∴。 …………10分
24.证法一:∵,∴,又∵,
∴ ………5分
。 ………10分
证法二:设=,∵,
当时,;
当,<0,是单调递减函数,………5分
∵,∴,
∴==;
==。
∴。 ………10分
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