活动4

问题：A、B、C三地两两距离如下图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向?

　　 设计意图：

　　 进一步熟练掌握勾股定理的逆定理的应用．

　　 师生行为：

　　 由学生独立完成后，由一个学生板演，教师讲解．

　　 解：BC²+AB²＝5²+12²＝169，

　　 AC²＝13²＝169，

　　 所以BC²+AB²＝AC²，即BC的方向与BA方向成直角，∠ABC＝90°，C地应在B地的正北方向．

四，课时小结

活动5

　　 问题：谈谈这节课的收获有哪些?掌握勾股定理及逆定理，来解决简单的应用题，会判断一个三角形是直角三角形．

　　 设计意图：

　　 这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会．

　　 师生行为：

　　 教师课前可准备一组小卡片，卡片上写上针对这节课内容不同形式的小问题，请同学们抽签回答．

板书设计

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

18．2　 勾股定理的逆定理(三)

活动2

　　 问题：[例1]判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．

　　 (1)a＝15，b＝8，c＝17；

　　 (2)a＝13，b＝14，c＝15；

　　 (3)求证：m²－n²，m²+n²，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长．

　　 设计意图：

　　 进一步让学生体会用勾股定理的逆定理，实现数和形的统一，第(3)题又让学生从一次从一般形式上去认识勾股数，如果能让学生熟记几组勾股数，我们在判断三角形的形状时，就可以避开很麻烦的运算．

　　 师生行为：

　　 先由学生独立完成，然后小组交流．

　　 教师应巡视学生解决问题的过程，对成绩较差的同学给予指导．

　　 在此活动中，教师应重点关注学生：

　　 ①能否用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。

　　 ②能否发现问题，反思后及时纠正．

　　 ③能否积极主动地与同学交流意见．

　　 生：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．

　　 解：(1)因为15²+8²＝225+64＝289，

　　 17²＝289，

　　 所以15²+8²＝17²，这个三角形是直角三角形．

　　 (2)因为13²+14²＝169+196＝365

　　 15²＝225

　　 所以13²+14²≠15²．这个三角形不是直角三角形．

　　 生：要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再根据勾股定理的逆定理来判断它们是否是直角三角形的三边长．

　　 (3)证明： m＞n、m、n是正整数

　　 (m²－n²)+(m²+n²)＝2m²＞2mn，

　　 即(m²－n²)+(m²+n²)＞2mn

　　 又因为(m²－n²)+2mn＝m²+n(2m－n)，

　　 而2m－n＝m+(m－n)＞0，

　　 所以(m²－n²)+2mn＞m²+n²

　　 这三条线段能组成三角形．

　　 又因为(m²－n²)²＝m⁴+n⁴－2m²n²

　　 (m²+n²)²＝m⁴+n⁴+2m²n²

　　 (2mn)²＝4m²n²，

　　 所以(m²－n²)²+(2mn)²

　　 ＝m⁴+n⁴－2m²n²+4m²n²

　　 ＝m⁴+n⁴+2m²n²

　　 ＝(m²+n²)2

　　 所以，此三角形是直角三角形，m²－n²、2mn、m²+n²(m＞n、m、n是正整数)这三边是直角三角形的三边．

　　 师：我们把像15、8、7这样，能够成为三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数．

　　 而且我们不难发现m²－n²、m²+n²、2mn也是一组勾股数，而且这组勾股数由于m可取值的不同会得到不同的勾股数，

　　 例如m＝2，n＝1时，m²－n²＝2²－1²＝3，m²+n²＝2²+1²＝5，2mn＝2×2×1＝4，而3、4、5就是一组勾股数．

　　 你还能找到不同的勾股数吗?

　　 生：当m＝3，n＝2时，m²－n²＝3²－2²＝5，m²+n²＝13，2mn＝2×3×2＝12，所以5、12、13也是一组勾股数，

　　 当m＝4，n＝2时，m²－n²＝4²－2²＝12，m²+n²＝20，2mn＝2×4×2＝16，所以12、16、20也是一组勾股数．

　　 ……

　　 师：由此我们发现，勾股数组有无数个，而上面介绍的就是寻找勾股数组的一种方法．

　　 17世纪，法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637年，他提出了数学史上的一个著名猜想--费马大定理，即当n＞2时，找不到任何的正整数组，使等式xⁿ+yⁿ＝zⁿ成立，费马大定理公布以后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明它．1995年，英籍数学家怀尔斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数智者300多年的谜．

　　 活动3

　　 问题：[例2]“远航”号，“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?

　　 设计意图：

　　 让学生体会勾股定理的逆定理在航海中的应用，从而树立远大理想，更进一步体会数学的实用价值，

　　 师生行为：

　　 教师先鼓励学生根据题意画出图形，然后小组内交流讨沦，教师需巡视，对有困难的学生一个启示，帮助他们寻找解题的途径．

　　 在此活动中，教师应重点关注：

　　 ①学生能否根据题意画出图形．

　　 ②学生能否积极主动地参与活动．

　　 ③学生是否充满信心解决问题．

生：我们根据题意画出图形，(如下图)，可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了．

解：根据题意画出下图

　　 PQ＝16×1.5＝24，

　　 PR＝12×1.5＝18，QA＝30．

　　 因为24²+18²＝30²，即PQ²+PR²＝QR²

　　 所以∠QPR＝90°

　　 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，所以∠RPS＝45°，即“海天”号沿西北或东南方向航行．

　　 活动1问题1：小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗?

问题2：如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD边和BC边是否垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺．

　　 (1)你能替他想想办法完成任务吗?

　　 (2)李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD的长是50厘米，AD边垂直于AB边吗?

　　 (3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗?BC边与AB边呢?

　　 设计意图：

　　 通过对两个实际问题的探究，让学生进一步体会到勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的广泛应用，提高学生的应用意识，发展学生的创新精神和应用能力．

　　 在将实际问题转化为数学问题时，肯定要有一定的困难，教师要给学生充分的时间和空间去思考，从而发现解决问题的途径．

　　 师生行为：

　　 先由学生自主独立思考，然后分组讨论，交流各自的想法．

　　 教师应深入到学生的讨论中去，对于学生出现的问题，教师急时给予引导．

　　 在此活动中，教师应重点关注学生，

　　 ①能否独立思考，寻找解决问题的途径．

　　 ②能否积极主动地参加小组活动，与小组成员充分交流，且能静心听取别人的想法．

　　 ③能否由此活动，激发学生学习数学的兴趣．

生：对于问题1，我们组是这样考虑的：小红拉着风筝站在原地，小军到风筝的正下方也就是说小军的头顶就是风筝．小红放线，使线端到达他所站的位置，然后在线端做一记号，最后收回风筝，量出放出的风筝线的总长度AB，再量出小明和小军所站位置的两点间的距离BC，利用勾股定理便可以求出AB的长度(如下图所示)

　　 生：对于问题2，我们组是这样考虑的：李叔叔随身只带卷尺检测AD，BC是否与底边垂直，也就是要检测∠DAB＝90°，∠CBA＝90°，连接BD或AC，也就是要检测△DAB和△CBA是否为直角三角形．很显然，这是一个需要用勾股定理的逆定理来解决的实际问题．

　　 根据我们的分析，用勾股定理的逆定理来解决，要检测△DA月是否为直角三角形，即∠DAB＝90°，李叔叔只需用卷尺分别量出AB，BD、DA的长度，然后计算AB²+DA²和BD²，看他们是否相等，若相等，则说明AD⊥AB，同理可检测BC是否垂直于AB．

　　 师：很好，对于问题2中的第(2)个小问题，李叔叔已量得AD，AB，BD的长度，根据他量出的长度能说明DA和AB垂直吗?

　　 生：可以，因为AD²+AB²＝30²+40²＝2500，而BD²＝2500，所以AD²+AB²＝BD²．可得AD与AB垂直．

　　 师：小明带的刻度尺长度只有20厘米，他有办法检验AD与AB边的垂直吗?

　　 生：可以利用分段相加的方法量出AD，AB，BD的长度．

　　 生：这样做误差太大，可以AB，AD上各量一段较小的长度．例如在AB边上量一小段AE＝8cm，在AD边上量一小段AF＝6cm，而AE²+AF²＝8²+6²＝64+36＝100＝10²，这时只要量一下EF是否等于10cm即可．

　　 如果EF＝10cm，EF²＝100，则有AE²+AF²＝EF²，根据勾股定理的逆定理可知△AEF是直角三角形，∠EAF＝90°即∠DAB＝90°所以AD⊥AB；如果EF≠10cm，则EF²≠100，所以AE²+AF²≠EF²，△AEF不是直角三角形，即AD不垂直于AB．

　　 师：看来，同学们方法还真多，没有被困难吓倒，祝贺你们．

　　 接下来，我们继续用勾股定理的逆定理解决几个问题．

教学重点　 运用勾股定理的逆定理解决实际问题．

教学难点　 将实际问题转化成用勾股定理的逆定理解决的数学问题．

教具准备　 多媒体课件．

教学过程

18.2　 勾股定理的逆定理(三)

教学目标

　　 活动4[例1]一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?

　　 [例2](1)判断以a＝10，b＝8，c＝6为边组成的三角形是不是直角三角形．

　　 解：因为a²+b²＝100+64＝164≠c²，即a²+b²≠c²，所以由a，b，c不能组成直角三角形．

　　 请问：上述解法对吗?为什么?

　　 (2)已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的中线AD＝12cm．

　　 求证：AB＝AC．

设计意图：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以使学生进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系．

　　 学生只要能用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可．

师生行为：先由学生独立完成，然后小组交流，讨论；教师巡视学生完成问题的情况，及时给予指导．在此活动中，教师应重点关注学生：①能否进一步理解勾股定理的逆定理，②能否用语言比较规范地书写过程，说明理由．③能否从中体验到学习的乐趣。

　　 生：例1：分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．

　　 解：在△ABD中，AB²+AD²＝9+16＝25＝BD²，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

　　 在△BCD中，BD²+BC²＝25+144＝169＝13²＝CD²，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．

　　 因此这个零件符合要求．

　　 例2：(1)解：上述解法是不对的．因为a＝10，b＝8，c＝6，b²+c²＝64+36＝100＝10²＝a²，即b²+c²＝a²．所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于第三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b，c是两直角边．

　　 评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边．往往只需看最大边的平方是否等于另外荫边的平方和．

(2)证明：根据题意，画出图形，AB＝13cm，BC＝10cm．

AD是BC边上的中线→BD＝CD＝5cm，在△ABD中AD＝12cm，BD＝5cm，AB＝13cm，AB²＝169，AD²+BD²＝12²+5²＝169．所以AB²＝AD²+BD²．则∠ADB＝90°．∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－90°＝90°．

　　 在Rt△ADC中，AC²＝AD²+CD²＝12²+5²＝13²．

　　 所以AC＝AB＝13cm．

四；课时小结

活动5

　　 问题：你对本节的内容有哪些认识，掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．

　　 设计意图：

　　 这种形式的小结，激发了学生主动参与意识，调动了学生的学习兴趣．为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会．

　　 小结活动既要注重引导学生将数学知识体系化，又要从能力、情感态度等方面关注学生对课堂的整体感受．

　　 师生行为：

　　 教师可准备好写有勾股数的卡片，让学生随机抽取，让学生说明如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形吗?

　　 在活动5，教师应重点关注学生：

　　 ①不同层次的学生对本节知识的认识程度．

　　 ②学生再谈收获是对不同方面的感受．

　　 ③学生独立面对困难和克服困难的能力，

板书设计

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

18.2　 勾股定理的逆定理(二)

勾股定理的逆定理的证明

构造Rt△A'B'C'，使两直角边为a，b，∠C'＝90°，从而得斜边A'B'＝c，得到△ABC≌△A'B'C'，所以∠C＝∠C＝90°，△ABC为直角三角形．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

活动与探究

　　 给出一组式子：3²+4²＝5²，8²+6²＝10²，15²+8²＝17²，24²+10²＝26²．

　　 (1)你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第5个式子；

　　 (2)请你证明你所发现的规律．

　　 过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方．很显然，我们发现的规律一定是“(　　 )²+(　　 )²＝(　　 )²”的形式．然后再观察每一项与序号的关系，如3²，8²，15²，24²与序号有何关系，可知3²＝(2²－1)²，8²＝(3²－1)²，15²＝(4²－1)²，24²＝(5²－1)²；所以我们可推想，第-项一定是(n²－1)²．(其n＞1，n为整数)，同理可得第二项一定是(2n)²，等式右边一定是(n²+1)²(其中n＞1，n为整数)．

　　 (1)解：上面的式于是有规律的，即(n²－1)²+(2n)²＝(n²+1)²(n为大于1的整数)．

　　 第5个式子是n＝6时，即(6²－1)²+(2×6)²＝(6²+1)²化简，得35²+12²＝37²．

　　 (2)证明：左边＝(n²－1)²+(2n)²＝(n⁴－2n²+1)+4n²＝n⁴+2n²+1＝(n²+1)²＝右边，证毕．

　　 活动2 问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗?如何证明呢?

设计意图：由特例猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否正确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，还可以提高学生的逻辑推理能力

师生行为：让学生试着寻找解题思路；教师可引导学生发现证明的思路．

　 本活动中，教师应重点关注学生：①能否在教师的引导下，理清思路．②能否积极主动地思考问题，参与交流、讨论．

　　 师：△ABC的三边长a，b，c满足a²+b²＝c²．如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗?

我们画一个直角三角形A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°(如下图)把画好的△A'B'C'剪下，放在△ABC上，它们重合吗?

　　 生：我们所画的Rt△A'B'C'，A'B'＝a²+b²，又因为c²＝a²+b²，所以A'B'²＝c²，即A'B'＝c　 △ABC和△A'B'C'三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C'＝90°．△ABC为直角三角形．即命题2是正确的．

　　 师：很好，当我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理．

　　 师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗?

　　 生：不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．

　　 师：你还能举出类似的例子吗?

　　 生：例如：如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．

　　 逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．

　　 显示原命题成立，而逆命题不成立．

活动3

　练习：1．如果三条线段长a，b，c满足a²＝c²－b²．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形?为什么?

2．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?

　　 (1)两条直线平行，内错角相等．

　　 (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．

　　 (3)全等三角形的对应角相等．

　　 (4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

设计意图 进一步理解和掌握勾股定理的逆定理的本质特征，以及互为逆命题的关系及正确性；提高学生的数学应用意识和逻辑推理能力．

师生行为：学生独立思考，自主完成；教师巡视完成练习的情况，以不同层次的学生给予辅导．在此活动中，教师应重点关注学生．①学生对勾股定理的逆定理的理解．②学生对互为逆命题的掌握情况．③学生面对困难，是否有克服困难的勇气．

　　 师：我们先来完成练习第1题．

　　 生：a²＝c²－b²，移项得a²+b²＝c²，所以根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形．

　　 生：2．(1)逆命题：如果内错角相等，那么两直线平行，此逆命题成立．

　　 (2)逆命题：如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数也相等，此逆命题不成立．

　　 (3)逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，此逆命题不成立．

　　 (4)逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，此逆命题成立．

　　 活动1　 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．

①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6　 ④6，8，10　 ⑤5，7，2　 ⑥13，5，12　 ⑦7，25，24

设计意图：帮助学生回忆构成三角形的条件和判定一个三角形为直角三角形的条件．

师生行为：由学生自己独立完成，教师巡视学生填的结果．　　

在此活动中，教师应重点关注：①学生是否熟练地完成填空；②学生是否积极主动地完成任务．

　　 生：能构成三角形的是：①③④⑥⑦，能构成直角三角形的是；①④⑥⑦

教学重点　 勾股定理逆定理的证明，及互逆定理的概念．

教学难点　 互逆定理的概念．

教具准备　 多媒体课件．

教学过程

活动5问题：你对本节内容有哪些认识?

设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要．

师生行为：教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形．

　　 在活动5中，教师应重点关注学生：(1)不同层次的学生对本节的认知程度．(2)学生再谈收获是对不同方面的感受．(3)学生独立面对困难和克服困难的能力．

板书设计

活动与探究

　　 Tom和Jerry去野外宿营，在某地要确定两条互相垂直的线，而身边又未带直角尺，可利用的只有背包带，你能帮他们想一个简单可行的办法吗?

　　 过程：确定垂线，即为确定一个直角，进而想到构造直角三角形．

结果：可在背包带上打结，在背包带上打13个等距离的结，把第5个结固定在地上，Tom拿住第1个和第13个结，而Jerry拿住第8个结，拉直背包带，第5个结处即为直角，(图略)

18.2　 勾股定理的逆定理(二)

教学目标