20．英国学者罗素在论述一位古希腊哲学家时说，他的一个重要思想是乌托邦，“它是一长串的乌托邦中最早的一个”。这位古希腊哲学家的另一个重要思想是

A．人是万物的尺度　B．理念论　　C．逻辑三段论　D．　美德即知识　

解析：此题考查的是对古希腊先哲思想的掌握。根据材料中的提示：有理想国政治构想的是柏拉图，其思想核心是理念论，所以此题应该选择B。

19．民族区域自治制度是新中国的重要政治制度。在我国五个民族自治区中，最早和最晚建立的是

A．内蒙古自治区、西藏自治区　 　　　　B．内蒙古自治区、宁夏回族自治区

C．新疆维吾尔自治区、宁夏回族自治区　 D．广西壮族自治区、西藏自治区

解析：此题考查的是对民族区域自治政策的理解。根据材料提供的信息和所学知识：内蒙古自治区1947年5月1日；西藏自治区1965年9月9日；新疆维吾尔自治区1955年10月1日；宁夏回族自治区1958年10月25日；广西壮族自治区1958年3月15日，所以此题的正确选项是A。

18．图7是拍摄于山海关的历史照片，图中的解放军主力即将参加

A．辽沈战役　　　　　　　　　　　 B．淮海战役　　

C．平津战役　　　　　　　　　　　 D．渡江战役

解析：此题考查的是对三大战役的掌握。根据图示反映的东北解放军入关的重要提示，应该先排除辽沈战役，因为根据史实此时的东北解放军入关是为了参加解放平津的战役，所以此题正确的选项是C。

17．“上海的炮声应该该是一个信号，这一次全国的人民真的团结成一个整体了……我们为着争我们民族的生存虽至粉身碎骨，我们也不会灭亡，因为我们还活在我们民族的生命里。”这段文字出自巴金即时而作的《一点感想》。让作者有感而发的背景是

A．抵抗八国联军侵略　　　　　　　 B．辛亥革命推翻朝廷

C．北伐军队进入上海　　　　　　　 D．抵抗日本全面侵华

解析：此题考查的是对抗日战争的掌握。根据题干提供的信息：全民族团结抗战，应该反映的是民族矛盾，此题应该是指1937年，上海“八·一三”战役，所以正确选项是D。

16．1903年有人指出：“选官之祈以神，断案之祈以神……以重要家国大事而轻付虚空无凭，泥塑木雕之一掷，迂愚如斯，固执如斯。”这反映作者

A．抨击迷信思想　 　　　　　　　　　B．痛斥君主专制

C．批判宗法制度　　　　　　　　　　 D．回击复古逆流

武装斗争是中国人民争取民族独立和解放的重要法宝。回答第17、18题。

解析：此题考查的是对史料的分析、理解能力。根据材料提供的信息，运用历史唯物主义观点和辩证唯物主义观点，经分析应该是伴随启蒙思想的传入，作者认为国家政治命运不可寄托在神仙身上，所以此题应该选择A。

15．“君为主，则必尧舜之君在上，而后可久安长治；民为主，则法制多纷更，心志难专一。究其极，不为流弊。惟君民共治，上下相通，民隐得以上达，君惠亦得以下逮”。根据材料和所学，判断这段文字的作者是

A．魏源　　　　 B．王韬　　　　 C．宋教仁　　　　 D．胡适

解析：此题考查的是对近代中国向西方学习的演进过程的理解。根据材料提供的信息和所学知识主张君民共主的是资产阶级维新派：魏源是地主阶级抵抗派，故排除；　　 　　 宋教仁是资产阶级革命派，故排除；胡适是资产阶级激进派，故排除；王韬是早期资产阶级维新派，所以此题正确选项是B。

14．元代《富春山居图》残卷分藏于海峡两岸。2010年初，两岸均有意联合展出该作品。下列作品与《富春山居图》同属于一个朝代的是

　 A．顾恺之《洛神赋图》　 　　　　　B．吴道子《送子天王图》　

C．王祯《农书》　 　　　　　　　　D．李贽《焚书》

解析：此题考查的是对中国古代历史时间的掌握。顾恺之是东晋时期的大画家；吴道子是唐朝的大画家；李贽是明朝末年的思想家；王祯是元朝时期的农学家，所以此题应该选择C项。

13．有人认为，中国古代君主专制理论由先秦法家奠定，经汉朝儒生发展而成。这两个阶段的代表人物分别是

A．荀子、董仲舒　

B．荀子、孟子　

C．商鞅、孟子　

D．韩非子、董仲舒

解析：此题考查的是对中国主流思想的理解。根据材料提供的信息和所学知识，先秦法家理论家是韩非子，而汉朝时使儒家成为统治思想的新儒学代表是董仲舒，所以此题正确选项是D。

12．图6是一副古代北京地区的政区示意图。图中反映的地方行政制度实行于

A．西周　

B．秦朝　

C．汉朝　

D．唐朝

解析：此题考查的是西汉的地方行政制度。汉武帝将全国划分为13个州部，各置刺史一人，代表中央监督地方。所以州作为一级地方行政单位应该是在汉朝，所以此题应该选择C。

(15)(本小题共13分)

　　 已知函数。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求的最大值和最小值。

15

(I)

(2)

　　　　 因为所以当时，取最大值6；当时，取最小值。

(16)(本小题共14分)

　　 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.

(Ⅰ)求证：AF∥平面BDE；

(Ⅱ)求证：CF⊥平面BDE；

(Ⅲ)求二面角A-BE-D的大小。

16证明：(I)设AC与BD交于点G，因为EF∥AG，且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形。所以AF∥EG。因为EGP平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE。

(II)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD。如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz。则C(0， 0， 0)，A(，，0)，D(，0， 0)，E(0， 0， 1)，F(，，1)。所以=(，，1)，=(0，－，1)，＝(－，0，1)。所以·= 0-1+1=0，·=－1+0+1＝0。所以CF⊥BE，CF⊥DE，所以CF⊥平面BDE

(III)由(II)知，=(，，1)，是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量=(x,y,z),则·=0，·=0。

即

所以x=0，且z=y。令y=1，则z=。所以n=()，从而cos(，)=

因为二面角A-BE-D为锐角，所以二面角A-BE-D为。

　(17)(本小题共13分)

某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，(＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ	0	1	2	3
P			b

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；

(Ⅱ)求，的值；

(Ⅲ)求数学期望ξ。

17

解：事件A，表示“该生第i门课程取得优异成绩”，i=1,2,3。由题意可知

(I)由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件“”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是

(II)由题意可知，

整理得pq=。

(III)由题意知，

　(18)(本小题共13分)

已知函数

(Ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，)处的切线方程；

(Ⅱ)求()的单调区间。

18

解：(I)当时，

由于所以曲线处的切线方程为

。即

(II)

　　　 当时，

　　　 因此在区间上，；在区间上，；

　　　 所以的单调递增区间为，单调递减区间为；

　　　 当时，，得;

　　　 因此，在区间和上，；在区间上，；

　　　 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为；

　　　 当时，.的递增区间为

　　　 当时，由，得；

　　　 因此，在区间和上，，在区间上，；

　　　 即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为。

(19)(本小题共14分)

在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

19，

解：(1)因点B与(-1,1)关于原点对称，得B点坐标为(1，-1)。

　　　 设P点坐标为，则，由题意得，

　　　 化简得：。

　　　 即P点轨迹为：

　　　 (2)因，可得，

　　　 又，

　　　 若，则有，　 即

　　　 设P点坐标为，则有：

　　　 解得：，又因，解得。

　　　 故存在点P使得与的面积相等，此时P点坐标为或

(20)(本小题共13分)

已知集合对于，，定义A与B的差为

A与B之间的距离为

(Ⅰ)证明：，且;

(Ⅱ)证明：三个数中至少有一个是偶数

(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为.

　 证明：≤.

20,

[分析]：这道题目的难点主要出现在读题上，这里简要分析一下。

　　　 题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是0或者1， 也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是0和1， 第二个定义叫距离，距离定义在两者之间，如果直观理解就是看两个数组有多少位不同，因为只有0和1才能产生一个单位的距离，因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数，然后将处理的结果综合起来，就能看到整体的性质了。

　　　 第一问，因为每个数位上都是0或者1，取差的绝对值仍然是0或者1，符合的要求。然后是减去C的数位，不管减去的是0还是1， 每一个a和每一个b都是同时减去的，因此不影响他们原先的差。

　　　 第二问，先比较A和B有几个不同(因为距离就是不同的有几个)，然后比较A和C有几个不同，这两者重复的(就是某一位上A和B不同，A和C不同，那么这一位上B和C就相同)去掉两次(因为在前两次比较中各计算了一次)，剩下的就是B和C的不同数目，很容易得到这样的关系式：，从而三者不可能同为奇数。

　　　 第三问，首先理解P中会出现个距离，所以平均距离就是距离总和再除以，而距离的总和仍然可以分解到每个数位上，第一位一共产生了多少个不同，第二位一共产生了多少个不同，如此下去，直到第n位。然后思考，第一位一共m个数，只有0和1会产生一个单位距离，因此只要分开0和1的数目即可，等算出来一切就水到渠成了。

　　　 此外，这个问题需要注意一下数学语言的书写规范。

解：(1)设

　　　　　　　 因，故，

　　　　　　　 即

　　　　　　　 又

　　　　　　　 当时，有；

　　　　　　　 当时，有

　　　　　　　 故

　　　 (2)设

　　　　　　　 记

　　　　　　　 记，由第一问可知：

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　

　　　　　　　 即中1的个数为k，中1的个数为l，

　　　　　　　 设t是使成立的i的个数，则有，

　　　　　　　 由此可知，不可能全为奇数，即三个数中至少有一个是偶数。

　　　 (3)显然P中会产生个距离，也就是说，其中表示P中每两个元素距离的总和。

　　　 分别考察第i个位置，不妨设P中第i个位置一共出现了个1， 那么自然有个0，因此在这个位置上所产生的距离总和为，

　　　 那么n个位置的总和

　　　 即

下面就一些具体问题来阐述一下解题思路，希望可以指点今后高三学生的一些复习方向。

　　　 选择题，第5题，考察知识点：极坐标系，在这个问题的设置上，命题人很巧妙地加入了一个乘积为0的现象，这违背了不少考生在之前的模拟考试中对于极坐标题的认识，认为就是简简单单的坐标转化，这一设置虽未增加多少难度，但构思仍然值得称赞。

　　　 选择题，第6题，考察知识点：常用逻辑，向量。借助函数的背景，把几个小知识点灵活地放在一起，若略有粗心便可能失分。

　　　 选择题，第7题，考察知识点：线性规划，指数函数。同样是求参数范围，这道题却能突破常规，最大值是3容易想，所有的a大于1却需要学生敏锐的观察力。

　　　 选择题，第8题，考察知识点：立体几何。四个运动的点会让考生感觉不太舒服，而几何的美妙之处很大程度上就在于如何从运动中寻找不变，这也是一向北京市命题风格，09年的选择题最后一题也体现了这个风格。

　　　 填空题，第14题，一个正方形的滚动虽然是新背景，但也不是第一次在考试中见到，但是这样的滚动方式还是会让不少学生感觉陌生，如何迅速地考察运动状态的每一次变化，就成为了解决这个问题的关键。

　　　 解答题整体难度梯度较好，第15题直接考察三角函数虽然有些出人意外，但题目本身中规中矩，跟平时三角函数的练习并没有太大区别，立体几何，概率，导数三道大题也依然维持常态，与我们平时在课堂上讲解的东西保持一致。值得说的是最后两道大题。

　　　 19题为解析几何大题，第二问很多考生反映说计算量很大，的确，如果按照一般的计算交点然后计算距离的方式去求三角形面积，计算量的确不小，但是这样做的同学大多数都是拿到题目，未详细思考直接动笔运算，事实上，如果认真考察两个三角形之间的关系，便可以发现这道题目并不需要过于复杂的运算，我后面给出的解法口算即可完成。

　　　 最后一题的立意继承了07年的压轴题立意，在离散情况下处理集合的新背景规则，带有一些组合技巧。考生的瓶颈在于读题上，大多数同学读到复杂的符号和定义的时候便头晕眼花，这说明了许多考生对于数学语言的理解层面尚浅，不能将抽象的符号语言转化为直观的认识，北京近年来的压轴题风格多为此类，下一届的高三应该在这方面多下功夫。

2010年普通高等学校招生全国统一考试